Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為．
（I）（求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）若數(shù)列{c_n}滿足，且{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求T_n．

Answer 1

【答案】分析：（I）已知前n項(xiàng)和公式求通項(xiàng)公式，二者的關(guān)系是a_n=，再驗(yàn)證n=1時(shí)是否成立．
（II）由（I）知，數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，求T_n時(shí)用等差數(shù)列的求和公式求奇數(shù)項(xiàng)和，用等比數(shù)列的求和公式求偶數(shù)項(xiàng)和，最后加在一起．應(yīng)分兩種情況求解，注意項(xiàng)數(shù)．
解答：解：（I）∵s_n=
∴n≥2時(shí)，
=n+1
∵n=1時(shí)，a₁=s₁=2
又∵a₁=S₁=2也滿足上式，∴a_n=n+1（n∈N^*）
（II）∵
∴此數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以c₁=2為首項(xiàng)，以d=2為公差的等差數(shù)列，
偶數(shù)項(xiàng)是以c₂=4為首項(xiàng)，以q=4為公比的等比數(shù)列；
①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)都是項(xiàng)
∴T_n=（c₁+c₃+c_n-1）+（c₂+c₄++c_n）=
=n+（-1）+=
②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)是項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)是項(xiàng)；
∴+
=
綜上，．
點(diǎn)評(píng)：本題是綜合性的題目，考查了前項(xiàng)和公式與通項(xiàng)公式的之間的關(guān)系，必須驗(yàn)證n=1是否成立，求和時(shí)清楚首項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)，兩個(gè)求和公式的運(yùn)用，結(jié)果應(yīng)用分段函數(shù)來表示，體現(xiàn)出數(shù)列是一種特殊的函數(shù)．