已知A，B，C三點的坐標分別是A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），其中
π
2
＜α＜
3π
2
．
（1）若|
AC
|=|
BC
|，求α的值；
（2）若
AC
•
BC
=-1，求
2sin2α+2sinαcosα
1+tanα
的值．
分析：（1）由題意求得
AC
 和
BC
 的坐標，再根據(jù)|
AC
|=|
BC
|，化簡可得tanα=1．再由
π
2
＜α＜
3π
2
，可得 α 的值．
（2）由
AC
•
BC
=-1，求得cosα+sinα=
2
3
，平方可得 2sinαcosα=-
5
9
，再根據(jù) 
2sin2α+2sinαcosα
1+tanα
=2sinαcosα 求得結(jié)果．
解答：解：（1）由題意可得，
AC
=（ cosα-3，sinα），
BC
=（cosα，sinα-3），
若|
AC
|=|
BC
|，則有 （cosα-3）2+sin2α=cos2α+（sinα-3）2，化簡可得 sinα=cosα，∴tanα=1．
再由
π
2
＜α＜
3π
2
，可得 α=
5π
4
．
（2）由（1）可得
AC
•
BC
=（ cosα-3，sinα）•（cosα，sinα-3）=cosα（cosα-3）+sinα（sinα-3）=1-3（cosα+sinα）=-1，
∴cosα+sinα=
2
3
，平方可得 2sinαcosα=-
5
9
．
∴
2sin2α+2sinαcosα
1+tanα
=
2sinα(sinα+cosα)
sinα+cosα
cosα
=2sinαcosα=-
5
9
．
點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式的應用，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，同角三角函數(shù)的基本關系的應用，屬于中檔題．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知A，B，C三點的坐標分別是A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），α∈(
π
2
，
3π
2
)，若
AC
•
BC
=-1，則
1+tanα
2sin2α+sin2α
的值為（　�。�
A、-
5
9
B、-
9
5
C、2
D、3

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知A、B、C三點的坐標分別為A（3，0）、B（3，0）、C（cosα，sinα）且
AC
•
BC
=-
1
2
．求：
（Ⅰ）sinα+cosα的值；
（Ⅱ）
sin(π-4α)•cos2(π-α)
1+sin(
π
2
+4α)
的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知A，B，C三點的坐標分別為A（0，1），B（2，2），C（3，5），則cosA=（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知A，B，C三點的坐標分別是A(0，
3
2
)，B（0，3），C（cosθ，sinθ），其中
π
2
＜θ＜
3π
2
，且|
AC
|=|
BC
|．
（1）求角θ的值；
（2）當0≤x≤
π
2
時，求函數(shù)f（x）=2sin（2x+θ）的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知A、B、C三點的坐標分別為（1，1）、（3，2）、（2，k+1），若△ABC為等腰三角形，求k的值．

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