Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠BCD=120°，BC⊥AB，CD⊥AD，BC=CD=PA=a，
（Ⅰ）求證：平面PBD⊥平面PAC．
（Ⅱ）求四棱錐P-ABCD的體積V．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）連接AC，證明AC⊥BD，證明PA⊥BD，PA∩AC=A，推出BD⊥平面PAC，然后證明平面PBD⊥平面PAC         
（Ⅱ）依題意得說明ABD是邊長(zhǎng)為的正三角形，然后直接求解，四棱錐P-ABCD的體積V．
解答：解：（Ⅰ）連接AC，∵BC=CD，AB=AD，
∴AC⊥BD，
又PA⊥平面ABCD，且BD?平面ABCD
∴PA⊥BD           
又PA∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC                       
又BD?平面BDP
∴平面PBD⊥平面PAC         
（Ⅱ）依題意得∠CBD=∠CDB=30°，
又BC⊥AB，CD⊥AD，
所以∠DBA=∠BDA=60°
又BC=CD=a，
∴
∴△ABD是邊長(zhǎng)為a的正三角形   
∴=
=
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直，平面與平面垂直的證明，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力，計(jì)算能力．