Question

用數(shù)學(xué)歸納法證明等式：n∈N，n≥1，1-

1

2

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2n-1

-

1

2n

=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

．

Answer 1

分析：我們用數(shù)學(xué)歸納法進行證明，先證明當(dāng)n=1時，左=1-

1

2

=

1

2

=右，等式成立．
再假設(shè)當(dāng)n=k時等式成立，，進而證明當(dāng)n=k+1時，等式也成立；

解答：證明：（1）當(dāng)n=1時，左=1-

1

2

=

1

2

=右，等式成立．
（2）假設(shè)當(dāng)n=k時等式成立，
即1-

1

2

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2k-1

-

1

2k

=

1

k+1

+

1

k+2

+…+

1

2k

則1-

1

2

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2k-1

-

1

2k

+(

1

2k+1

-

1

2k+2

)=

1

k+1

+

1

k+2

+…+

1

2k

+(

1

2k+1

-

1

2k+2

)=

1

k+2

+…+

1

2k

+

1

2k+1

+

1

2k+2

∴當(dāng)n=k+1時，等式也成立．
綜合（1）（2），等式對所有正整數(shù)都成立．

點評：數(shù)學(xué)歸納法常常用來證明一個與自然數(shù)集N相關(guān)的性質(zhì)，其步驟為：設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若1）（奠基） P（n）在n=1時成立；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數(shù)）成立的假設(shè)下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對一切自然數(shù)n都成立．