數(shù)列{an}滿足an=2an-1+2n+1（n≥2，n∈N*），a1=27，
（1）記，是否存在實數(shù)t，使數(shù)列{bn}為等差數(shù)列？若存在，求出實數(shù)t；若不存在，說明理由？
（2）設(shè)，試求使不等式（1+C1）（1+C2）…對所有n∈N*成立的最大實數(shù)k．
【答案】分析：（1）假設(shè)存在實數(shù)t，使得{bn}為等差數(shù)列，從而有2bn=bn-1+bn+1，故可求；
（2）由（1）知：原不等式等價于
，利用分離參數(shù)法，再考查的單調(diào)性，利用其最小值，可求
最大實數(shù)k的值．
解答：解：（1）假設(shè)存在實數(shù)t，使得{bn}為等差數(shù)列．則2bn=bn-1+bn+1
∴
∴4an=4an-1+an+1+t
∴
∴t=1
即存在t=1，使得數(shù)列{bn}為等差數(shù)列．
（2）由（1）知：原不等式等價于

∴
令，則
∴g（n）為單增數(shù)列，故
∴
∴最大實數(shù)k為．
點評：本題以數(shù)列為載體，考查數(shù)列與不等式的綜合，考查數(shù)列的通項公式的求法，存在性問題的求解，關(guān)鍵是分離參數(shù)，利用最值求解．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•浙江模擬）數(shù)列{an}滿足an+1+an=4n-3（n∈N*）
（Ⅰ）若{an}是等差數(shù)列，求其通項公式；
（Ⅱ）若{an}滿足a1=2，Sn為{an}的前n項和，求S2n+1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)f（x）的定義域為R，數(shù)列{an}滿足an=f（an-1）（n∈N*且n≥2）．
（Ⅰ）若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1≠a2，且f（an）-f（an-1）=k（an-an-1）（k為非零常數(shù)，n∈N*且n≥2），求k的值；
（Ⅱ）若f（x）=kx（k＞1），a1=2，bn=lnan(n∈N*)，數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，對于給定的正整數(shù)m，如果
S(m+1)nSmn
的值與n無關(guān)，求k的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若數(shù)列{an} 滿足
an+12an2
=p（p為正常數(shù)，n∈N*），則稱{an} 為“等方比數(shù)列”．則“數(shù)列{an} 是等方比數(shù)列”是“數(shù)列{an} 是等比數(shù)列”的
必要非充分
必要非充分
條件．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•浦東新區(qū)二模）數(shù)列{an}滿足an+1=
4an-2
an+1
（n∈N*）．
①存在a1可以生成的數(shù)列{an}是常數(shù)數(shù)列；
②“數(shù)列{an}中存在某一項ak=
49
65
”是“數(shù)列{an}為有窮數(shù)列”的充要條件；
③若{an}為單調(diào)遞增數(shù)列，則a1的取值范圍是（-∞，-1）∪（1，2）；
④只要a1≠
3k-2k+1
3k-2k
，其中k∈N*，則
lim
n→∞
an一定存在；
其中正確命題的序號為
①④
①④
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•江蘇二模）已知各項均為正整數(shù)的數(shù)列{an}滿足an＜an+1，且存在正整數(shù)k（k＞1），使得a1+a2+…+ak=a1•a2…ak，an+k=k+an（n∈N*）．
（1）當(dāng)k=3，a1a2a3=6時，求數(shù)列{an}的前36項的和S36；
（2）求數(shù)列{an}的通項an；
（3）若數(shù)列{bn}滿足bnbn+1=-21•(
12
)an-8，且b1=192，其前n項積為Tn，試問n為何值時，Tn取得最大值？

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