Question

設(shè)函數(shù)f（x）=m（cosx+sinx）²+1-2sin²x，x∈R，且y=f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(

π

4

，2)
（1）求實(shí)數(shù)m的值；
（2）求函數(shù)f（x）的最小值及此時(shí)x值的集合．

Answer 1

分析：（1）利用三角恒等變換可求得f（x）=m（1+sin2x）+cos2x，再由f（

π

4

）=2即可求得實(shí)數(shù)m的值；
（2）由（1）知f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+1，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求得函數(shù)f（x）的最小值及此時(shí)x值的集合．

解答：解：（1）∵f（x）=m（1+sin2x）+cos2x的圖象經(jīng)過點(diǎn)（

π

4

，2），
∴f（

π

4

）=m（1+sin

π

2

）+cos

π

2

=2m=2，解得m=1．
（2）由（1）得f（x）=1+sin2x+cos2x=

2

sin（2x+

π

4

）+1，
∴當(dāng)sin（2x+

π

4

）=-1時(shí)，f（x）的最小值為1-

2

；
由sin（2x+

π

4

）=-1，得2x+

π

4

=2kπ-

π

2

，
解得x=kπ-

3π

8

（k∈Z），
此時(shí)x值的集合為{x|x=kπ-

3π

8

，k∈Z}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角恒等變換，著重考查輔助角公式的應(yīng)用與正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．