Question

已知定義在（0，+∞）上的三個(gè)函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=x²-af（x），，且g（x）在x=1處取得極值．
（Ⅰ）求函數(shù)g（x）在x=2處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)h（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）把h（x）對(duì)應(yīng)的曲線C₁向上平移6個(gè)單位后得到曲線C₂，求C₂與g（x）對(duì)應(yīng)曲線C₃的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由．
請(qǐng)考生在第22、23、24題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．
作答時(shí)，用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)涂黑．

Answer 1

【答案】分析：（I）表示出函數(shù)g（x）后對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)，將x=1代入導(dǎo)數(shù)g'（x）即可得到答案．欲求在點(diǎn)x=2處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=2處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．
（II）先求導(dǎo)數(shù)fˊ（x）然后在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間，fˊ（x）＜0的區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間．
（III）表示出C₂的解析式，h₁（x），轉(zhuǎn)化為求h₁（x）與g（x）的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可．
解答：解：（I）g（x）=x²-af（x）=x²-alnx，，g'（1）=2-a=0
∴a=2經(jīng)檢驗(yàn)a=2成立
又g（2）=4-2ln2，g'（2）=3，∴y-4+2ln2=3（x-2）
即函數(shù)g（x）在x=2處的切線方程：3x-y-2-2ln2=0
（II），定義域[0，+∞），
令，得x＞1；令得0＜x＜1，
∴函數(shù)h（x）單調(diào)遞增區(qū)間是（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1）．
（III）由（1）知g（x）=x²-2lnx，，定義域[0，+∞）
∴C₂對(duì)應(yīng)的表達(dá)式為，問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)g（x）=x²-2lnx與圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，故只需求方程，即根的個(gè)數(shù)
設(shè)，h₃（x）=-x²+x+6，，
當(dāng)x∈（0，4），h₂^′（x）＜0，h₂（x）為減函數(shù)；當(dāng)x∈（4，+∞），h₂^′（x）＞0，h₂（x）為增函數(shù)，而，圖象是開口向下的拋物線，作出函數(shù)h₂（x）與h₃（x）的圖象，，而可知交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè)，即曲線C₂與C₃的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè)．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查通過(guò)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來(lái)確定函數(shù)的增減區(qū)間的問題．這里要熟記各種函數(shù)的求導(dǎo)法則，用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的步驟是：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)fˊ（x）；（3）在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；（4）確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．若在函數(shù)式中含字母系數(shù)，往往要分類討論．