Question

已知四棱錐P-ABCD的正視圖是一個底邊長為4、腰長為3的等腰三角形，圖1、圖2分別是四棱錐P-ABCD的側(cè)視圖和俯視圖．
（1）求證：AD⊥PC；
（2）求四棱錐P-ABCD的側(cè)面PAB的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)三視圖形狀可得側(cè)面PDC⊥平面ABCD，結(jié)合矩形ABCD中AD⊥CD，由面面垂直的性質(zhì)得AD⊥側(cè)面PDC．再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，結(jié)合PC?側(cè)面PDC可證出AD⊥PC；
（2）取CD的中點E，連接PE、AE．由三視圖的形狀并結(jié)合面面垂直、線面垂直的性質(zhì)，算出PA=PB=，最后在△PAB中利用正、余弦定理可算出△PAB的面積，即得側(cè)面PAB的面積．
解答：解：（1）根據(jù)三視圖，可得側(cè)面PDC⊥平面ABCD
∵AD⊥CD，側(cè)面PDC∩平面ABCD=CD，AD?平面ABCD
∴AD⊥側(cè)面PDC
∵PC?側(cè)面PDC，∴AD⊥PC；
（2）取CD的中點E，連接PE、AE，
∵根據(jù)三視圖，得△PCD中，PD=PC=3，CD=4
∴PE==
Rt△ADE中，AD=DE=2，可得AE==2
∵側(cè)面PDC⊥平面ABCD，側(cè)面PDC∩平面ABCD=CD，
PE?側(cè)面PDC，PE⊥CD
∴PE⊥平面ABCD，結(jié)合AE?平面ABCD，可得AE⊥PE
因此，Rt△PAE中，PA==．同理可得PB=
∴△PAB中，cos∠APB==
由同角三角函數(shù)的關(guān)系，得sin∠APB==
∴S_△PAB=PA•PBsin∠APB=×××=6
即側(cè)面PAB的面積為6．
點評：本題給出三視圖，要求我們證明線線垂直并求側(cè)面三角形的面積，著重考查了三視圖求面積和面面垂直、線面垂直的性質(zhì)定理等知識，屬于中檔題．