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A地產汽油，B地需要汽油．運輸工具沿直線AB從A地到B地運油，往返A，B一趟所需的油耗等于從A地運出總油量的 $數學公式$ ．如果在線段AB之間的某地C（不與A，B重合）建一油庫，則可選擇C作為中轉站，即可由這種運輸工具先將油從A地運到C地，然后再由同樣的運輸工具將油從C地運到B地．設 $數學公式$ =x，往返A，C一趟所需的油耗等于從A地運出總油量的 $數學公式$ ．往返C，B一趟所需的油耗等于從C地運出總油量的 $數學公式$ ．不計裝卸中的損耗，定義：運油率P= $數學公式$ ，設從A地直接運油到B地的運油率為P₁，從A地經過C中轉再運油到B地的運油率為P₂．
（1）比較P₁，P₂的大��；
（2）當C地選在何處時，運油率P₂最大？

解：（1）設從A地運出的油量為a，根據題設，直接運油到B地，往返油耗等于 $\text{[math]}$ a，
所以B地收到的油量為（1- $\text{[math]}$ ）a．
所以運油率P₁= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
而從A地運出的油量為a時，C地收到的油量為（1- $\text{[math]}$ ）a，
B地收到的油量（1- $\text{[math]}$ ）（1- $\text{[math]}$ ）a，
所以運油率P₂=（1- $\text{[math]}$ ）（1- $\text{[math]}$ ）=（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）（1- $\text{[math]}$ ）．
所以P₂-P₁= $\text{[math]}$ x（1-x），因為0＜x＜1，
所以P₂-P₁＞0，即P₂＞P₁．
（2）因為P₂=（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）（1- $\text{[math]}$ ）≤ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
當且僅當 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1- $\text{[math]}$ ，即x= $\text{[math]}$ 時，取“=”
所以當C地為AB中點時，運油率P₂有最大值．
分析：（1）設從A地運出的油量為a，根據題設，直接運油到B地，往返油耗等于 $\text{[math]}$ a，所以B地收到的油量為（1- $\text{[math]}$ ）a．根據
運油率P= $\text{[math]}$ ，可計算P₁；而從A地運出的油量為a時，C地收到的油量為（1- $\text{[math]}$ ）a，
B地收到的油量（1- $\text{[math]}$ ）（1- $\text{[math]}$ ）a，根據運油率P= $\text{[math]}$ ，可計算P₂．然后兩者作差比較．
（2）由P₂=（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）（1- $\text{[math]}$ ）利用基本不等式求其最大值．
點評：本題主要考查函數模型的建立與應用，涉及了函數模型的比較，基本不等式求函數最值．

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