Question

如圖，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，O是AC的中點，A₁O⊥平面ABC，∠BCA=90°，AA₁=AC=BC．
（Ⅰ）求證：A₁B⊥AC₁；
（Ⅱ）求二面角A-BB₁-C的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由已知條件推導出A₁O⊥BC，從而得到BC⊥平面A₁ACC₁，進而得到AC₁⊥BC，再由AA₁=AC，得到AC₁⊥A₁C，由此能證明A₁B⊥AC₁．
（Ⅱ）以OC為單位長度，建立空間直角坐標系O-xyz，利用向量法能求出二面角A-BB₁-C的余弦值．

解答： 解：（Ⅰ）因為A₁O⊥平面ABC，所以A₁O⊥BC．
又BC⊥AC，所以BC⊥平面A₁ACC₁，
所以AC₁⊥BC．…（2分）
因為AA₁=AC，所以四邊形A₁ACC₁是菱形，
所以AC₁⊥A₁C．
所以AC₁⊥平面A₁BC，
所以A₁B⊥AC₁．…（5分）
（Ⅱ）以OC為單位長度，
建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz，
則A（0，-1，0），B（2，1，0），
C（0，1，0），C₁（0，2，

3

）．

AB

=（2，2，0），

BB1

=

CC1

=（0，1，

3

），
設=（x，y，z）是面ABB₁的一個法向量，
則

m

•

AB

=0，

m

•

BB1

=0，
即

2x+2y=0 y+ 3 z=0

，取x=

3

，得

m

=（

3

，-

3

，1）．
同理面CBC₁的一個法向量為

n

=（0，-

3

，1）．…（10分）
因為cos＜

m

，

n

＞=

2 7

7

．
所以二面角A-BB₁-C的余弦值

2 7

7

．…（12分）

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．