Question

如圖, 三棱柱ABC－A₁B₁C₁中, 側棱A₁A⊥底面ABC,且各棱長均相等. D, E, F分別為棱AB, BC, A₁C₁的中點.

(Ⅰ) 證明EF//平面A₁CD;

(Ⅱ) 證明平面A₁CD⊥平面A₁ABB₁;

(Ⅲ) 求直線BC與平面A₁CD所成角的正弦值.

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) 見解析(Ⅱ) 見解析(Ⅲ)

【解析】(Ⅰ)證明：在三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AC∥，且AC=，連結ED，在中，因為D、E分別為AB，BC的中點，所以DE=且DE∥AC，又因為F為的中點，可得=DE，且∥DE，

即四邊形為平行四邊形，所以EF∥D，

又EF平面A₁CD，D平面A₁CD，所以EF//平面A₁CD.

(Ⅱ)證明：由于底面ABC是正三角形，D為AB的中點，

所以CD⊥AB，又由于側棱⊥底面ABC，

CD平面A₁CD，所以平面A₁CD⊥平面A₁ABB₁.

(Ⅲ)在平面A₁ABB₁內，過點B作BG⊥，交直線于點G，連結CG，

由于平面A₁CD⊥平面A₁ABB₁，而直線是平面A₁CD與平面A₁ABB₁的交線，

所以BG⊥平面A₁CD，由此得為直線BC與平面A₁CD所成的角.

設棱長為，可得，由∽，易得BG=，

在中，，

所以直線BC與平面A₁CD所成角的正弦值為.

本題第（Ⅰ）問，證明線面平行，可以在面內找一條直線平行于EF，在幾何證明題中，一般遇到中點，可以聯想中位線的思想；第(Ⅱ)問，證明面面垂直，必須在一個面內找一條直線垂直另外一個平面；第(Ⅲ)問，先找出線面角，再解直角三角形求出結果.證明平行與垂直關系時，注意寫全條件；用幾何法求線面角、二面角等空間角時，要注意在解答過程中指出誰是線面角或二面角的平面角等.

【考點定位】本小題主要考查直線與平面平行、平面與平面垂直、直線與平面所成的角等基礎知識、考查空間想象能力、運算求解能力和推理論證能力.