Question

已知cosβ=-

1

3

，sin（α+β）=

7

9

，α∈（0，

π

2

），β∈（

π

2

，π）．
（1）求cos2β的值；
（2）求sinα的值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)cos2β，將cosβ的值代入計(jì)算即可求出值；
（2）由cosβ的值，以及β的范圍，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinβ的值，再由α與β的范圍求出α+β的范圍，根據(jù)sin（α+β）的值求出cos（α+β）的值，sinα=[（α+β）-β]，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)后，將各自的值代入計(jì)算即可求出值．

解答：解：（1）∵cosβ=-

1

3

，
∴cos2β=2cos²β-1=-

7

9

；
（2）∵cosβ=-

1

3

，β∈（

π

2

，π），∴sinβ=

1-cos2β

=

2 2

3

，
∵α∈（0，

π

2

），β∈（

π

2

，π），∴α+β∈（

π

2

，

3π

2

），
又sin（α+β）=

7

9

，∴cos（α+β）=-

1-sin2(α+β)

=-

4 2

9

，
則sinα=sin[（α+β）-β]=sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ=

7

9

×（-

1

3

）+

4 2

9

×

2 2

3

=

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及二倍角的余弦函數(shù)公式，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．