精英家教網(wǎng)如圖，已知四棱錐的P-ABCD，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD且AP=AB=3，
AD=
3
，∠ABC=60°．
（Ⅰ）點(diǎn)F為線段PB上一點(diǎn)，PF：FB=2，求證：CF∥面ADP；
（Ⅱ）求二面角F-AC-B的余弦值．
分析：（I）過點(diǎn)C做AB的垂線CE，E為垂足，我們易求出AE的值，進(jìn)而A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線CF的方向向量和平面ADP的法向量，根據(jù)兩個(gè)向量的數(shù)量積為0，得到兩個(gè)向量垂直，進(jìn)而得到CF∥面ADP；
（Ⅱ）分別求出平面FAC和平面ABC的法向量，代入向量夾角公式，即可求出二面角F-AC-B的余弦值．
解答：證明：（I）過點(diǎn)C做AB的垂線CE，E為垂足
∵AB⊥AD
∴AD∥CE
又∵AB∥CD
∴四邊形ABCD為平行四邊形
∴CE=AD=
3

在Rt△BCE中，CE=BEtan60°
∴BE=1
∴AE=2…3分
如圖，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），B（0，3，0），P（0，0，3），C（
3
，2，0）
∵PF：FB=2：1
∴F（0，2，1）
∵
CF
=（-
3
，0，1），
AB
=（0，3，0）
又∵
CF
•
AB
=0，
∴
CF
⊥
AB
，
∵AB⊥平面ADP，即平面ADP的法向量為
AB
，
故CF∥平面ADP…6分
（II）設(shè)平面AFC的法向量為
n
=（x，y，z），則
n
⊥
AC
，
n
⊥
FC
，
即
n
•
AC
=0，
n
•
FC
=0，
即
2y+
3
x=0
3
x-z=0

則
n
=（1，-
3
2
，
3
）
又AP⊥平面ACB，故
AP
=（0，0，3）為平面ACB的一個(gè)法向量，
∴二面角F-AC-B的余弦值為
|
n
•
AP
|
|
n
|•|
AP
|
=
3
3
3
3
4
+1+3
=
2
57
19
…12分
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二面角的平面角及其求法，直線與平面平行的判定，其中（I）的關(guān)鍵是證得直線CF的方向向量和平面ADP的法向量垂直，（II）的發(fā)是求出平面FAC和平面ABC的法向量，將二面角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知四棱錐P--ABC的底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，e為PC的中點(diǎn)，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明EF∥平面PAB；
（Ⅱ）證明EF⊥平面PBC；
（III）點(diǎn)M是四邊形ABCD內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，PM與平面ABCD所成的角始終為45°，求動(dòng)直線PM所形成的曲面與平面ABCD、平面PAB、平面PAD所圍成幾何體的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=2，M是PB的中點(diǎn)，則點(diǎn)P到平面ACM的距離為
2
3
3
2
3
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知四棱錐的P-ABCD，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD且AP=AB=3，
AD=數(shù)學(xué)公式，∠ABC=60°．
（Ⅰ）點(diǎn)F為線段PB上一點(diǎn)，PF：FB=2，求證：CF∥面ADP；
（Ⅱ）求二面角F-AC-B的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011年河南省五市高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，已知四棱錐的P-ABCD，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD且AP=AB=3，
AD=，∠ABC=60°．
（Ⅰ）點(diǎn)F為線段PB上一點(diǎn)，PF：FB=2，求證：CF∥面ADP；
（Ⅱ）求二面角F-AC-B的余弦值．

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