如圖，橢圓上的點M與橢圓右焦點F1的連線MF1與x軸垂直，且OM（O是坐標原點）與橢圓長軸和短軸端點的連線AB平行．
（1）求橢圓的離心率；
（2）過F1且與AB垂直的直線交橢圓于P，Q，若△PF2Q的面積是，求此時橢圓的標準方程．

【答案】分析：（1）由題設知M（c，），，，故，由此能求出橢圓的離心率．
（2）設直線PQ的方程為：y=-，代入橢圓方程，消去x得：，故，，所以，由△PF2Q的面積是，能求出橢圓的標準方程．
解答：解：（1）∵橢圓上的點M與橢圓右焦點F1的連線MF1與x軸垂直，
且OM（O是坐標原點）與橢圓長軸和短軸端點的連線AB平行，
∴M（c，），，，
∴，
∴b=c，∴，
∴．
（2）設直線PQ的方程為：y=-，
即y=-，
代入橢圓方程，消去x得：，
整理，得：，
∴，，
，
∴===20，
∴c2=25，∴a2=50，b2=25，
所以橢圓方程為：．
點評：本題考查橢圓的離心率和標準方程的求法，考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學思想，培養(yǎng)學生的抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和創(chuàng)新意識．
練習冊系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖，橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1上的點M與橢圓右焦點F1的連線MF1與x軸垂直，且OM（O是坐標原點）與橢圓長軸和短軸端點的連線AB平行．
（1）求橢圓的離心率；
（2）F2是橢圓的左焦點，C是橢圓上的任一點，證明：∠F1CF2≤
π
2
；
（3）過F1且與AB垂直的直線交橢圓于P、Q，若△PF2Q的面積是20
3
，求此時橢圓的方程．

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如圖，橢圓上的點M與橢圓右焦點F1的連線MF1與x軸垂直，且OM（O是坐標原點）與橢圓長軸和短軸端點的連線AB平行．

（1）求橢圓的離心率；

（2）F2是橢圓的左焦點，C是橢圓上的任一點，證明：

∠F1CF2≤ ；

（3）過F1且與AB垂直的直線交橢圓于P、Q，若△PF2Q的面積是20 ，求此時橢圓的方程．

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（1）求橢圓的離心率；
（2）F2是橢圓的左焦點，C是橢圓上的任一點，證明：∠F1CF2≤；
（3）過F1且與AB垂直的直線交橢圓于P、Q，若△PF2Q的面積是20，求此時橢圓的方程．

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（1）求橢圓的離心率；
（2）F2是橢圓的左焦點，C是橢圓上的任一點，證明：∠F1CF2≤；
（3）過F1且與AB垂直的直線交橢圓于P、Q，若△PF2Q的面積是20，求此時橢圓的方程．

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