Question

【題目】如圖，四棱錐的底面是矩形，平面平面，，且，點(diǎn)為的中點(diǎn).

（1）證明：平面平面；

（2）若直線和平面所成的角為，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）推導(dǎo)出平面，可得出，再由，利用線面垂直的判定定理可得出平面，利用面面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；

（2）取中點(diǎn)，連接，，取中點(diǎn)，連接，由平面，可得出直線和平面所成的角為，計(jì)算出、，推導(dǎo)出平面，計(jì)算出，計(jì)算出點(diǎn)到平面的距離為，進(jìn)而可得出直線與平面所成角的正弦值為.

（1）證明：平面平面，平面平面，平面，，平面，

又平面，，

又，且平面，平面，，平面，

又平面，平面平面；

（2）取中點(diǎn)，連接、，取中點(diǎn)，連接，

由（1）知平面，平面，，

即為直線和平面所成的角，，

又，，，，

為中點(diǎn)，，

平面平面，平面平面，平面，平面，

平面，，，且，，

，

、分別為、中點(diǎn)，，

又，，

，平面，平面，

平面，，

平面，平面，，平面，且，

在矩形中，且，

、分別為、的中點(diǎn)，且，

四邊形為平行四邊形，，

平面，平面，平面，

點(diǎn)與點(diǎn)到平面距離相等，設(shè)點(diǎn)到平面距離為，則，

設(shè)直線與平面所成角為，則.

則直線與平面所成角的正弦值.