【題目】已知函數(shù)f(x)=1+lnx﹣ ,其中k為常數(shù).
(1)若k=0,求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程.
(2)若k=5,求證:f(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn);
(3)若k為整數(shù),且當(dāng)x>2時(shí),f(x)>0恒成立,求k的最大值.
【答案】
(1)解:當(dāng)k=0時(shí),f(x)=1+lnx.
因?yàn)閒′(x)= ,從而f′(1)=1.
又f (1)=1,
所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程y﹣1=x﹣1,
即x﹣y=0
(2)解:證明:當(dāng)k=5時(shí),f(x)=lnx+ ﹣4.
因?yàn)閒′(x)= ,從而
當(dāng)x∈(0,10),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)x∈(10,+∞)時(shí),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.
所以當(dāng)x=10時(shí),f(x)有極小值.
因f(10)=ln10﹣3<0,f(1)=6>0,
所以f(x)在(1,10)之間有一個(gè)零點(diǎn).
因?yàn)閒(e4)=4+ ﹣4>0,所以f(x)在(10,e4)之間有一個(gè)零點(diǎn).
從而f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)
(3)解:方法一:由題意知,1+lnx﹣ >0對(duì)x∈(2,+∞)恒成立,
即k< 對(duì)x∈(2,+∞)恒成立.
令h(x)= ,則h′(x)= .
設(shè)v(x)=x﹣2lnx﹣4,則v′(x)= .
當(dāng)x∈(2,+∞)時(shí),v′(x)>0,所以v(x)在(2,+∞)為增函數(shù).
因?yàn)関(8)=8﹣2ln8﹣4=4﹣2ln8<0,v(9)=5﹣2ln9>0,
所以存在x0∈(8,9),v(x0)=0,即x0﹣2lnx0﹣4=0.
當(dāng)x∈(2,x0)時(shí),h′(x)<0,h(x)單調(diào)遞減,
當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí),h′(x)>0,h(x)單調(diào)遞增.
所以當(dāng)x=x0時(shí),h(x)的最小值h(x0)= .
因?yàn)閘nx0= ,所以h(x0)= ∈(4,4.5).
故所求的整數(shù)k的最大值為4.
方法二:由題意知,1+lnx﹣ >0對(duì)x∈(2,+∞)恒成立.
f(x)=1+lnx﹣ ,f′(x)= .
①當(dāng)2k≤2,即k≤1時(shí),f′(x)>0對(duì)x∈(2,+∞)恒成立,
所以f(x)在(2,+∞)上單調(diào)遞增.
而f(2)=1+ln2>0成立,所以滿足要求.
②當(dāng)2k>2,即k>1時(shí),
當(dāng)x∈(2,2k)時(shí),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,
當(dāng)x∈(2k,+∞),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.
所以當(dāng)x=2k時(shí),f(x)有最小值f(2k)=2+ln2k﹣k.
從而f(x)>0在x∈(2,+∞)恒成立,等價(jià)于2+ln2k﹣k>0.
令g(k)=2+ln2k﹣k,則g′(k)= <0,
從而g(k)在(1,+∞)為減函數(shù).
因?yàn)間(4)=ln8﹣2>0,g(5)=ln10﹣3<0,
所以使2+ln2k﹣k>0成立的最大正整數(shù)k=4.
綜合①②,知所求的整數(shù)k的最大值為4
【解析】(1)求出f(x)的解析式,求出導(dǎo)數(shù)和切線的斜率和切點(diǎn)坐標(biāo),由點(diǎn)斜式方程即可得到切線方程;(2)求出k=5時(shí)f(x)的解析式和導(dǎo)數(shù),求得單調(diào)區(qū)間和極小值,再由函數(shù)的零點(diǎn)存在定理可得(1,10)之間有一個(gè)零點(diǎn),在(10,e4)之間有一個(gè)零點(diǎn),即可得證;(3)方法一、運(yùn)用參數(shù)分離,運(yùn)用導(dǎo)數(shù),判斷單調(diào)性,求出右邊函數(shù)的最小值即可;方法二、通過(guò)對(duì)k討論,運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間,求出f(x)的最小值,即可得到k的最大值為4.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+ax﹣lnx,a∈R.
(1)若函數(shù)f(x)在[1,2]上是減函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)令g(x)=f(x)﹣x2 , 是否存在實(shí)數(shù)a,當(dāng)x∈(0,e](e是自然常數(shù))時(shí),函數(shù)g(x)的最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,說(shuō)明理由;
(3)求證:當(dāng)x∈(0,e]時(shí),e2x2﹣ x>(x+1)lnx.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知復(fù)數(shù)z=bi(b∈R), 是實(shí)數(shù),i是虛數(shù)單位.
(1)求復(fù)數(shù)z;
(2)若復(fù)數(shù)(m+z)2所表示的點(diǎn)在第一象限,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】f(x)是定義在D上的函數(shù),若存在區(qū)間[m,n]D,使函數(shù)f(x)在[m,n]上的值域恰為[km,kn],則稱(chēng)函數(shù)f(x)是k型函數(shù).給出下列說(shuō)法:①f(x)=3﹣ 不可能是k型函數(shù); ②若函數(shù)y=﹣ x2+x是3型函數(shù),則m=﹣4,n=0;
③設(shè)函數(shù)f(x)=x3+2x2+x(x≤0)是k型函數(shù),則k的最小值為 ;
④若函數(shù)y= (a≠0)是1型函數(shù),則n﹣m的最大值為 .
下列選項(xiàng)正確的是( )
A.①③
B.②③
C.②④
D.①④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知△ABC中,內(nèi)角A,B,C依次成等差數(shù)列,其對(duì)邊分別為a,b,c,且b= asinB.
(1)求內(nèi)角C;
(2)若b=2,求△ABC的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若過(guò)定點(diǎn)M(﹣1,0)且斜率為k的直線與圓x2+4x+y2﹣5=0在第一象限內(nèi)的部分有交點(diǎn),則k的取值范圍是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若三棱錐P﹣ABC中,AB=AC=1,AB⊥AC,PA⊥平面ABC,且直線PA與平面PBC所成角的正切值為 ,則三棱錐P﹣ABC的外接球的表面積為( )
A.4π
B.8π
C.16π
D.32π
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)=ax2+bx(a>0,b>0)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線斜率為2,則 的最小值是( )
A.10
B.9
C.8
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓C: =1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F2(1,0),點(diǎn)P(1, )在橢圓C上.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O的兩條直線EF,MN分別與橢圓C交于E,F(xiàn),M,N四點(diǎn),且直線OE,OM的斜率之積為﹣ ,求證:四邊形EMFN的面積為定值.
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