Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=1+lnx﹣ ，其中k為常數(shù)．
（1）若k=0，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程．
（2）若k=5，求證：f（x）有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；
（3）若k為整數(shù)，且當(dāng)x＞2時(shí)，f（x）＞0恒成立，求k的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)k=0時(shí)，f（x）=1+lnx．

因?yàn)閒′（x）= ，從而f′（1）=1．

又f （1）=1，

所以曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程y﹣1=x﹣1，

即x﹣y=0

（2）解：證明：當(dāng)k=5時(shí)，f（x）=lnx+ ﹣4．

因?yàn)閒′（x）= ，從而

當(dāng)x∈（0，10），f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；

當(dāng)x∈（10，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．

所以當(dāng)x=10時(shí)，f（x）有極小值．

因f（10）=ln10﹣3＜0，f（1）=6＞0，

所以f（x）在（1，10）之間有一個(gè)零點(diǎn)．

因?yàn)閒（e4）=4+ ﹣4＞0，所以f（x）在（10，e4）之間有一個(gè)零點(diǎn)．

從而f（x）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)

（3）解：方法一：由題意知，1+lnx﹣ ＞0對(duì)x∈（2，+∞）恒成立，

即k＜ 對(duì)x∈（2，+∞）恒成立．

令h（x）= ，則h′（x）= ．

設(shè)v（x）=x﹣2lnx﹣4，則v′（x）= ．

當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，v′（x）＞0，所以v（x）在（2，+∞）為增函數(shù)．

因?yàn)関（8）=8﹣2ln8﹣4=4﹣2ln8＜0，v（9）=5﹣2ln9＞0，

所以存在x0∈（8，9），v（x0）=0，即x0﹣2lnx0﹣4=0．

當(dāng)x∈（2，x0）時(shí)，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減，

當(dāng)x∈（x0，+∞）時(shí)，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增．

所以當(dāng)x=x0時(shí)，h（x）的最小值h（x0）= ．

因?yàn)閘nx0= ，所以h（x0）= ∈（4，4.5）．

故所求的整數(shù)k的最大值為4．

方法二：由題意知，1+lnx﹣ ＞0對(duì)x∈（2，+∞）恒成立．

f（x）=1+lnx﹣ ，f′（x）= ．

①當(dāng)2k≤2，即k≤1時(shí)，f′（x）＞0對(duì)x∈（2，+∞）恒成立，

所以f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增．

而f（2）=1+ln2＞0成立，所以滿足要求．

②當(dāng)2k＞2，即k＞1時(shí)，

當(dāng)x∈（2，2k）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，

當(dāng)x∈（2k，+∞），f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．

所以當(dāng)x=2k時(shí)，f（x）有最小值f（2k）=2+ln2k﹣k．

從而f（x）＞0在x∈（2，+∞）恒成立，等價(jià)于2+ln2k﹣k＞0．

令g（k）=2+ln2k﹣k，則g′（k）= ＜0，

從而g（k）在（1，+∞）為減函數(shù)．

因?yàn)間（4）=ln8﹣2＞0，g（5）=ln10﹣3＜0，

所以使2+ln2k﹣k＞0成立的最大正整數(shù)k=4．

綜合①②，知所求的整數(shù)k的最大值為4

【解析】（1）求出f（x）的解析式，求出導(dǎo)數(shù)和切線的斜率和切點(diǎn)坐標(biāo)，由點(diǎn)斜式方程即可得到切線方程；（2）求出k=5時(shí)f（x）的解析式和導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間和極小值，再由函數(shù)的零點(diǎn)存在定理可得（1，10）之間有一個(gè)零點(diǎn)，在（10，e4）之間有一個(gè)零點(diǎn)，即可得證；（3）方法一、運(yùn)用參數(shù)分離，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，求出右邊函數(shù)的最小值即可；方法二、通過(guò)對(duì)k討論，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間，求出f（x）的最小值，即可得到k的最大值為4．