Question

已知F₁、F₂雙曲線C：

x2

16

-

y2

9

=1的左、右焦點，直線l：y=

3

3

(x-5)與C在一象限的交點為P，點Q在線段PF₂的延長線上，|PF₁|=|PQ|，則△F₁F₂Q的面積是

20

．

Answer 1

分析：利用雙曲線的定義轉(zhuǎn)化可求得F₂Q，再利用點到直線間的距離公式求得點F₁到直線l的距離（△F₁F₂Q的底邊F₂Q上的高）即可求得△F₁F₂Q的面積．

解答：解：∵雙曲線C的方程為：

x2

16

-

y2

9

=1，左、右焦點分別為F₁（-5，0）、F₂（5，0），點P在右支上，
∴|PF₁|-|PF₂|=2a=8，
又|F₂Q|=|PQ|-|PF₂|，|PF₁|=|PQ|，
∴|F₂Q|=|PF₁|-|PF₂|=8，
設(shè)點F₁到直線l：y=

3

3

（x-5）即

3

x-3y-5

3

=0的距離為d，
則：d=

| 3 ×(-5)-3×0-5 3 |

3 2+32

=

10 3

2 3

=5，
∴△F₁F₂Q的面積S=

1

2

|F₂Q|d=

1

2

×8×5=20．
故答案為：20．

點評：本題考查雙曲線的定義及點到直線間的距離公式、三角形的面積公式，考查轉(zhuǎn)化思想與運算能力，屬于中檔題．