已知函數(shù)f(x)=數(shù)學(xué)公式
(1)當(dāng)數(shù)學(xué)公式時(shí),求f(x)的極值點(diǎn);
(2)若f(x)在f′(x)的單調(diào)區(qū)間上也是單調(diào)的,求實(shí)數(shù)a的范圍.

解:(1)當(dāng)時(shí),f(x)=x2-lnx+x (x>0)
由f′(x)=x-+1==0,可得x1=,x2=…2′
當(dāng)(0,)時(shí),f′(x)<0,函數(shù)單調(diào)減,當(dāng)(,+∞)時(shí),f′(x)>0,函數(shù)單調(diào)增…3′
∴f(x)在x=時(shí)取極小值…4′
(2)f′(x)=(x>0)…5′
令g(x)=x2-2ax+a2+a,△=4a2-3a2-2a=a2-2a,設(shè)g(x)=0的兩根x1,x2(x1<x2)…7′
1°、當(dāng)△≤0時(shí),即0≤a≤2,f′(x)≥0,∴f(x)單調(diào)遞增,滿足題意…9′
2°、當(dāng)△>0時(shí) 即a<0或a>2時(shí)
①若x1<0<x2,則 a2+a<0 即-<a<0時(shí),f(x)在(0,x2)上單調(diào)減,(x2,+∞上單調(diào)增
f′(x)=x+-2a,f″(x)=1-≥0,∴f′(x) 在(0,+∞)單調(diào)增,不合題意…11′
②若x1<x2<0,則,即a≤-時(shí),f(x)在(0,+∞)上單調(diào)增,滿足題意.…13′
③若0<x1<x2,,則,即a>2時(shí),f(x)在(0,x1)單調(diào)增,(x1,x2)單調(diào)減,(x2,+∞)單調(diào)增,不合題意…15′
綜上得a≤-或0≤a≤2.…16′
分析:(1)當(dāng)時(shí),f(x)=x2-lnx+x (x>0),求導(dǎo)函數(shù),確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,即可求得f(x)的極值點(diǎn);
(2)求導(dǎo)函數(shù)f′(x)=(x>0),構(gòu)造新函數(shù)g(x)=x2-2ax+a2+a,△=4a2-3a2-2a=a2-2a,設(shè)g(x)=0的兩根x1,x2(x1<x2),分類討論,通過比較根的關(guān)系,根據(jù)f(x)在f′(x)的單調(diào)區(qū)間上也是單調(diào)的,即可確定實(shí)數(shù)a的范圍.
點(diǎn)評:本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用,考查函數(shù)的單調(diào)性與極值,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想,正確分類是關(guān)鍵.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=sinxcosφ+cosxsinφ(其中x∈R,0<φ<π).
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)若函數(shù)y=f(2x+
π
4
)
的圖象關(guān)于直線x=
π
6
對稱,求φ的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x,
(1)求x<0,時(shí)f(x)的表達(dá)式;
(2)若關(guān)于x的方程f(x)-a=o有解,求實(shí)數(shù)a的范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=aInx-ax,(a∈R)
(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(文科可參考公式:(Inx)=
1
x

(2)若f′(2)=1,記函數(shù)g(x)=x3+x2[f(x)+
m
2
]
,若g(x)在區(qū)間(1,3)上總不單調(diào),求實(shí)數(shù)m的范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2-bx的圖象在點(diǎn)A(1,f(1))處的切線l與直線3x-y+2=0平行,若數(shù)列{
1
f(n)
}
的前n項(xiàng)和為Sn,則S2010的值為( 。
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間(-1,1)上的奇函數(shù),且對于x∈(-1,1)恒有f’(x)<0成立,若f(-2a2+2)+f(a2+2a+1)<0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
 

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