已知定義在[-2,2]上的函數(shù)y=f(x)和y=g(x),其圖象如圖所示:給出下列四個命題:
①方程f[g(x)]=0有且僅有6個根    ②方程g[f(x)]=0有且僅有3個根
③方程f[f(x)]=0有且僅有5個根    ④方程g[g(x)]=0有且僅有4個根
其中正確命題的序號( 。
分析:通過f(x)=0可知函數(shù)有三個解,g(x)=0有2個解,具體分析 ①②③④推出正確結(jié)論.
解答:解:由圖象可得-2≤g(x)≤2,-2≤f(x)≤2,
①由于滿足方程f[g(x)]=0 的g(x)有三個不同值,由于每個值g(x)對應(yīng)了2個x值,
故滿足f[g(x)]=0的x值有6個,即方程f[g(x)]=0有且僅有6個根,故①正確.
②由于滿足方程g[f(x)]=0的f(x)有2個不同的值,從圖中可知,每一個值f(x),
一個f(x)的值在(-2,-1)上,令一個f(x)的值在(0,1)上.
當(dāng)f(x)的值在(-2,-1)上時,原方程有一個解;f(x)的值在(0,1)上,原方程有3個解.
故滿足方程g[f(x)]=0的x值有4個,故②不正確.
③由于滿足方程f[f(x)]=0的f(x)有3個不同的值,從圖中可知,一個f(x)等于0,
一個f(x)∈(-2,-1),一個f(x)∈(1,2).
而當(dāng)f(x)=0對應(yīng)了3個不同的x值;當(dāng)f(x)∈(-2,-1)時,只對應(yīng)一個x值;
當(dāng)f(x)∈(1,2)時,也只對應(yīng)一個x值.
故滿足方程f[f(x)]=0的x值共有5個,故③正確.
④由于滿足方程g[g(x)]=0 的g(x)值有2個,而結(jié)合圖象可得,每個g(x)值對應(yīng)2個不同的x值,
故滿足方程g[g(x)]=0 的x值有4個,即方程g[g(x)]=0有且僅有4個根,故④正確.
故選 D.
點評:本題考查根的存在性及根的個數(shù)判斷,函數(shù)的圖象,考查邏輯思維能力及識別圖象的能力,是中檔題.
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f(0)=f(
π
4
)=1
;②f(m+n)+f(m-n)=2f(m)cos2n+8sin2n(m,n∈R).
則(1)f(
π
2
+x)+f(x)
=
4
4
;
(2)函數(shù)f(x)的最大值是
2+
2
2+
2

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12
x3
,(t為常數(shù)).
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(2)當(dāng)t≥6時,證明函數(shù)y=f(x)的圖象上至少有一點在直線y=8上.

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1
2
,2]
1
2
,2]

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π
4
)=
3
,f(x)最大值為2
(1)寫出f(x)的表達式;
(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-
π
2
π
2
]
上的單增區(qū)間.

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