Question

已知函數(shù)f(x)=-2sin2x+2

3

sinxcosx+2．
（1）求f（x）的最小正周期和對稱中心；
（2）若不等式|f（x）-m|≤3對一切x∈[-

π

6

，

π

3

]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）當(dāng)x∈[-π，π]時(shí)，求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）利用三角恒等變換可求得f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1，從而可求得f（x）的最小正周期和對稱中心；
（2）x∈[-

π

6

，

π

3

]⇒-

π

6

≤2x+

π

6

≤

5π

6

⇒-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1⇒0≤f（x）≤3，依題意可得m-3≤f（x）≤3+m對一切x∈[-

π

6

，

π

3

]恒成立，從而可求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可求得當(dāng)x∈[-π，π]時(shí)，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

解答：解：（1）f（x）=-2sin²x+2

3

sinxcosx+2
=

3

sin2x+cos2x+1
=2sin（2x+

π

6

）+1，
∴f（x）的最小正周期為T=

2π

2

=π．
令2x+

π

6

=kπ，則x=

kπ

2

-

π

12

（k∈Z），
∴f（x）的對稱中心為（

kπ

2

-

π

12

，1）（k∈Z）．
（2）∵x∈[-

π

6

，

π

3

]，
∴-

π

6

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，
∴-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，
∴0≤f（x）≤3．
∴當(dāng)x=-

π

6

時(shí)，f（x）的最小值為0；
當(dāng)x=

π

6

時(shí)，f（x）的最大值為3．
由題意得，-3≤f（x）-m≤3，
∴m-3≤f（x）≤m+3對一切x∈[-

π

6

，

π

3

]恒成立，
∴

m-3≤0 m+3≥3

，解得0≤m≤3，
∴所求實(shí)數(shù)m的取值范圍為[0，3]．
（3）由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

（k∈Z），
得kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

（k∈Z），
即f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]（k∈Z），
又x∈[-π，π]，
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[-

5π

6

，-

π

3

]，[

π

6

，

2π

3

]．

點(diǎn)評：本題考查三角恒等變換，著重考查正弦函數(shù)的對稱性、單調(diào)性與最值的綜合應(yīng)用，屬于難題．