Question

已知數(shù)列{a_n}中，a1=1，anan+1=(

1

3

)n，(n∈N*)，
（1）求證：數(shù)列{a_2n}與{a_2n-1}（n∈N^*）都是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}前2n的和T_2n；
（3）若數(shù)列{a_n}前2n的和為T_2n，不等式81T_2n•a_2n≤2（1-ka_2n）對（n∈N^*）恒成立，求k的最大值．

Answer 1

分析：（1）整理anan+1=(

1

3

)n得

an+2

an

=

1

3

根據(jù)等比數(shù)列的定義判定出數(shù)列{a_2n}與{a_2n-1}（n∈N^*）都是等比數(shù)列；
（2）根據(jù)T_2n=（a₁+a₃+…+a_2n-1）+（a₂+a₄+…+a_2n）利用等比數(shù)列的求和公式求得答案．
（3）把（2）中的T_2n和a_2n，代入81T_2n•a_2n≤2（1-ka_2n），令t=(

1

3

)n，求得t與k的不等式關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)t求得k的范圍，求得k的最大值．

解答：解：（1）∵anan+1=(

1

3

)n，
∴

an+2

an

=

1

3

∴數(shù)列a₁，a₃，…a_2n-1，是以1為首項，

1

3

為公比的等比數(shù)列；
數(shù)列a₂，a₄，…，a_2n，是以

1

3

為首項，

1

3

為公比的等比數(shù)列．
（2）T2n=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n)=

1-( 1 3 )n

1- 1 3

+

1 3 [1-( 1 3 )n]

1- 1 3

=2-2(

1

3

)n
（3）81T_2n•a_2n≤2（1-ka_2n），則81•[2-2(

1

3

)n]•(

1

3

)n≤2•[1-k(

1

3

)n]，
令t=(

1

3

)n，則81（1-t）t≤1-kt，kt≤1-81（1-t）t，∵t＞0，k≤81t+

1

t

-81
又81t+

1

t

-81≥2

81

-81=-63，等號當(dāng)且僅當(dāng)81t=

1

t

，t=

1

9

，
即(

1

3

)n=

1

9

，n=2時成立．故k≤-63，即k的最大值為-63．

點(diǎn)評：本題主要考查了等比關(guān)系的確定，等比數(shù)列的求和問題．解題的關(guān)鍵是對等比數(shù)列基礎(chǔ)知識點(diǎn)的熟練掌握．