【題目】設(shè)橢圓C: =1(α>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(
,
),且原點(diǎn)、焦點(diǎn),短軸的端點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形.
(1)求橢圓E的方程;
(2)是否存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線(切線斜率存在)與橢圓C恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B.且 ?若存在,求出該圓的方程,若不存在說(shuō)明理由.
【答案】
(1)解:∵原點(diǎn)、焦點(diǎn),短軸的端點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形,∴b=c,
∵橢圓C: =1(α>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(
,
),∴
=1,
聯(lián)立 ,解得b=c=2,a2=8.
∴橢圓E的方程為 =1
(2)解:假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線(切線斜率存在)與橢圓C恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B.且 .
設(shè)圓的方程為:x2+y2=r2,(0<r<2).
設(shè)圓的切線為y=kx+m,則 =r,A(x1,y1),B(x2,y2).
聯(lián)立 ,化為:(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣8=0,
△≥0,可得:9k2+4≥m2.
x1+x2= ,x1x2=
.
∵ ,∴
=x1x2+y1y2=0.
∴(1+k2)x1x2+mk(x1+x2)+m2=0,
∴ ﹣
+m2=0,
化為:3m2=8+8k2,與 =r聯(lián)立,
可得r2= =
=
<4,
因此假設(shè)成立,存在圓心在原點(diǎn)的圓,方程為x2+y2= ,使得該圓的任意一條切線(切線斜率存在)與橢圓C恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且
【解析】(1)由原點(diǎn)、焦點(diǎn),短軸的端點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形,可得b=c.由橢圓C: =1(α>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(
,
),可得
=1,與a2=b2+c2聯(lián)立即可得出.(2)假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線(切線斜率存在)與橢圓C恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B.且
.設(shè)圓的方程為:x2+y2=r2 , (0<r<2).設(shè)圓的切線為y=kx+m,可得
=r,A(x1 , y1),B(x2 , y2).與橢圓方程聯(lián)立化為:(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣8=0,利用根與系數(shù)的關(guān)系及其
,可得
=x1x2+y1y2=0.化簡(jiǎn)整理即可得出.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))曲線C的參數(shù)方程為
,
為參數(shù)
,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,點(diǎn)P的極坐標(biāo)為
(Ⅰ)求直線l以及曲線C的極坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn),求三角形PAB的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】扇形AOB中心角為,所在圓半徑為
,它按如圖(Ⅰ)(Ⅱ)兩種方式有內(nèi)接矩形CDEF.
(1)矩形CDEF的頂點(diǎn)C、D在扇形的半徑OB上,頂點(diǎn)E在圓弧AB上,頂點(diǎn)F在半徑OA上,設(shè);
(2)點(diǎn)M是圓弧AB的中點(diǎn),矩形CDEF的頂點(diǎn)D、E在圓弧AB上,且關(guān)于直線OM對(duì)稱(chēng),頂點(diǎn)C、F分別在半徑OB、OA上,設(shè);
試研究(1)(2)兩種方式下矩形面積的最大值,并說(shuō)明兩種方式下哪一種矩形面積最大?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿(mǎn)足f(1)=1,且f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)< ,則不等式f(x2)<
的解集為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】知函數(shù),
,
與
在交點(diǎn)
處的切線相互垂直.
(1)求的解析式;
(2)已知,若函數(shù)
有兩個(gè)零點(diǎn),求
的取值范圍 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),其中向量
,
.
(1)求函數(shù)的最小正周期與單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)在中,
、
、
分別是角
、
、
的對(duì)邊,已知
,
,
的面積為
,求
外接圓半徑
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校200名學(xué)生的數(shù)學(xué)期中考試成績(jī)頻率分布直方圖如圖所示,其中成績(jī)分組區(qū)間是,
,
,
,
.
(1)求圖中的值;
(2)根據(jù)頻率分布直方圖,估計(jì)這200名學(xué)生的平均分;
(3)若這200名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)中,某些分?jǐn)?shù)段的人數(shù)與英語(yǔ)成績(jī)相應(yīng)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)
之比如下表所示,求英語(yǔ)成績(jī)?cè)?/span>
的人數(shù).
分?jǐn)?shù)段 | |||||
1:2 | 2:1 | 6:5 | 1:2 | 1:1 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某實(shí)驗(yàn)單次成功的概率為0.8,記事件A為“在實(shí)驗(yàn)條件相同的情況下,重復(fù)3次實(shí)驗(yàn),各次實(shí)驗(yàn)互不影響,則3次實(shí)驗(yàn)中至少成功2次”,現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)事件4的概率:先由計(jì)算機(jī)給出0~9十個(gè)整數(shù)值的隨機(jī)數(shù),指定0,1表示單次實(shí)驗(yàn)失敗,2,3,4,5,6,7,8,9表示單次實(shí)驗(yàn)成功,以3個(gè)隨機(jī)數(shù)為組,代表3次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù),如下表:
752 | 029 | 714 | 985 | 034 |
437 | 863 | 694 | 141 | 469 |
037 | 623 | 804 | 601 | 366 |
959 | 742 | 761 | 428 | 261 |
根據(jù)以上方法及數(shù)據(jù),估計(jì)事件A的概率為( )
A.0.384B.0.65C.0.9D.0.904
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某單位共有老、中、青職工430人,其中青年職工160人,中年職工人數(shù)是老年職工人數(shù)的2倍。為了解職工身體狀況,現(xiàn)采用分層抽樣方法進(jìn)行調(diào)查,在抽取的樣本中有青年職工32人,則該樣本中的老年職工人數(shù)為
A. 9 B. 18 C. 27 D. 36
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