Question

為響應(yīng)國家擴大內(nèi)需的政策，某廠家擬在2013年舉行促銷活動，經(jīng)調(diào)查測算，該產(chǎn)品的年銷量（即該廠的年產(chǎn)量）x萬件與年促銷費用t（t≥0）萬元滿足x=4-

k

2t+1

（k為常數(shù)）．如果不搞促銷活動，則該產(chǎn)品的年銷量只能是1萬件．已知2013年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為6萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入12萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品平均成本的1.5倍（產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分）．
（1）將該廠家2013年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費用t萬元的函數(shù)；
（2）該廠家2013年的年促銷費用投入多少萬元時廠家利潤最大？

Answer 1

分析：（1）先求出k的值，再根據(jù)產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分，可得該廠家2013年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費用t萬元的函數(shù)；
（2）由（1）知y=27-

18

2t+1

=27.5-[

9

t+ 1 2

+(t+

1

2

)]，利用基本不等式，可求該廠家2013年的廠家利潤最大．

解答：解：（1）由題意有1=4-

k

1

，得k=3，故x=4-

3

2t+1

．
∴y=1.5×

6+12x

x

×x-（6+12x）-t=3+6x-t=3+6（4-

3

2t+1

）-t=27-

18

2t+1

-t（t≥0）．
（2）由（1）知y=27-

18

2t+1

=27.5-[

9

t+ 1 2

+(t+

1

2

)]
∵

9

t+ 1 2

+(t+

1

2

)≥2

9 t+ 1 2 •(t+ 1 2 )

=6，
當(dāng)且僅當(dāng)

9

t+ 1 2

=t+

1

2

，即t=2.5時，等號成立，
∴y=27.5-[

9

t+ 1 2

+(t+

1

2

)]≤27.5-6=21.5．
當(dāng)t=2.5時，y有最大值21.5．
∴2009年的年促銷費用投入2.5萬元時，該廠家利潤最大．

點評：本題考查函數(shù)模型的建立，考查利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，考查基本不等式的運用，屬于中檔題．