Question

如圖，設(shè)點(diǎn)P在曲線y=x²，從原點(diǎn)向A（2，4）移動(dòng)，讓直線OP與曲線y=x²所圍成圖形面積為S₁，直線OP、直線x=2與曲線y=x²所圍成圖形的面積為S₂．
（1）當(dāng)S₁=S₂時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)S₁+S₂有最小值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及此最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的應(yīng)用

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）考慮用定積分求兩曲線圍成的封閉圖形面積，再根據(jù)S₁=S₂就可求出t值．
（2）由（1）可求當(dāng)S₁+S₂，化簡后，為t的三次函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求最小值，以及相應(yīng)的x值，就可求出P點(diǎn)坐標(biāo)為多少時(shí)，S₁+S₂有最小值．

解答： 解：（1）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t（0＜t＜2），則P點(diǎn)的坐標(biāo)為（t，t²），
直線OP的方程為y=tx，
S₁=

∫

t 0

（tx-x²）dx=（

1

2

tx2-

1

3

x3）

|

t 0

=

1

6

t3，S₂=

∫

2 t

（x²-tx）dx=（

1

3

x3-

1

2

tx2）

|

2 t

=

8

3

-2t+

1

6

t3，
因?yàn)镾₁=S₂，所以t=

4

3

，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

4

3

，

16

9

），
（2）S=S₁+S₂=

1

6

t3+

8

3

-2t+

1

6

t3=

1

3

t3-2t+

8

3

，
則S′=t²-2，令S′=0得t²-2=0，t=

2

，
 因?yàn)?＜t＜

2

時(shí)，S′＜0；

2

＜t＜2時(shí)，S′＞0，
所以，當(dāng)t=

2

時(shí)，S_min=

8-4 2

3

，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（

2

，2）．

點(diǎn)評：本題考查了用定積分求兩曲線所圍圖形面積，以及導(dǎo)數(shù)求最值，做題時(shí)應(yīng)認(rèn)真分析．