Question

某人要建造一面靠舊墻的矩形籬笆，地面面積為24m²、高為1m，舊墻需維修，其它三面建新墻，由于地理位置的限制，籬笆正面的長度x米，不得超過a米（a＞1），正面有一扇1米寬的門，其平面示意圖如圖．已知舊墻的維修費用為150元/m²，新墻的造價為450元/m²．
（Ⅰ）把籬笆總造價y元表示成x米的函數(shù)，并寫出該函數(shù)的定義域；
（Ⅱ）當(dāng)x為多少時，總造價最低？最低總造價是多少？

Answer 1

【答案】分析：（I）籬笆由三部分構(gòu)成，先表示出籬笆的寬，然后把籬笆總造價y元表示成x米的函數(shù)，根據(jù)籬笆正面的長度x米，不得超過a米，正面有一扇1米寬的門，可求出定義域；
（II）討論a與6的大小，當(dāng)a≥6時利用基本不等式進(jìn)行求最值，當(dāng)1＜a＜6時利用導(dǎo)數(shù)法求出最值，注意解題格式即可．
解答：解：（I）依題意得：（1＜x＜a）∴
（II）①當(dāng)a≥6時，
當(dāng)且僅當(dāng) 即 x=6時取等號，此時總造價最低為3150元
②當(dāng)1＜a＜6時，，x₁=6，x₂=-6∵1＜x＜a，且1＜a≤6
∴函數(shù)在（1，a）上為減函數(shù)
當(dāng)x=a時，
答：當(dāng)a≥6時，總造價最低為3150元；x=a時，總造價最低元
點評：觀察函數(shù)特點：為一個含有兩個部分，這兩部分的積為一個常數(shù)，求和的最值，所以利用基本不等式求最值，以及利用導(dǎo)數(shù)法求最值，解題的關(guān)鍵是討論a的范圍．