Question

我國采用的PM2.5的標(biāo)準(zhǔn)為：日均值在35微克/立方米以下的空氣質(zhì)量為一級；在35微克/立方米一75微克/立方米之間的空氣質(zhì)量為二級；75微克/立方米以上的空氣質(zhì)量為超標(biāo)．某城市環(huán)保部門隨機抽取該市m天的PM2.5的日均值，發(fā)現(xiàn)其莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程度的破壞，可見部分如下圖所示．

請據(jù)此解答如下問題：
（Ⅰ）求m的值，并分別計算：頻率分布直方圖中的[75，95）和[95，115]這兩個矩形的高；
（Ⅱ）通過頻率分布直方圖枯計這m天的PM2.5日均值的中位數(shù)（結(jié)果保留分?jǐn)?shù)形式）；
（Ⅲ）從這m天的PM2.5日均值中隨機抽取2天，記X表示抽到PM2.5超標(biāo)的天數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,莖葉圖,眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)

專題：計算題,概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）根據(jù)第一組的數(shù)據(jù)，建立方程即可求出m的值，然后分別計算：頻率分布直方圖中的[75，95）和[95，115]這兩個矩形的高；
（Ⅱ）根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)以及頻率分布直方圖枯計這m天的PM2.5日均值的中位數(shù)；
（Ⅲ）求出X的相應(yīng)的概率，可求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（Ⅰ）∵

1

m

=0.0025×20，
∴m=20，
矩形[75，95）的高為

9

400

=0.0225，矩形[95，115）的高為0.01．
（Ⅱ）根據(jù)頻率分布直方圖枯計可以估計這m天的PM2.5日均值的中位數(shù)為75+

20

3

=81

2

3

．
（Ⅲ）∵P（X=0）=

C 2 7

C 2 20

=

21

190

，P（X=1）=

C 1 7 C 1 13

C 2 20

=

91

190

，P（X=2）=

C 2 13

C 2 20

=

39

95

，
∴X的分別列為

X	0	1	2
P	21 190	91 190	39 95

∴E（X）=1×

91

190

+2×

39

95

=

13

10

．

點評：本題主要考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，以及概率的計算，考查分布列和數(shù)學(xué)期望，考查學(xué)生的計算能力，正確求概率是關(guān)鍵．