給定橢圓C：，若橢圓C的一個焦點為F(，0)，其短軸上的一個端點到F的距離為．

(I)求橢圓C的方程；

(II)已知斜率為k(k≠0)的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，點Q滿足且=0，其中N為橢圓的下頂點，求直線在y軸上截距的取值范圍．

 

【答案】

(I) .（II）.（III）直線縱截距的范圍是.

【解析】

試題分析：(I)由題意聯(lián)立方程組

由得，

根據(jù)，即可得到的取值范圍是.

（II）設(shè)直線方程為，

通過聯(lián)立 

設(shè)應用韋達定理，結(jié)合得為的中點， ，

得到，可建立的方程， 從而由得到使問題得解.

試題解析：(I)由題意知.

由得，

所以，解得，

所以求的取值范圍是.

（II）設(shè)直線方程為，

由整理得，

化簡得

設(shè)

則

由得為的中點，所以

因為，所以

即，化簡得

又，

所以

又，所以

.

考點：橢圓的定義、標準方程，直線與橢圓的位置關(guān)系.

 

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

給定橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），稱圓心在坐標原點O，半徑為
a2+b2
的圓是橢圓C的“伴隨圓”． 若橢圓C的一個焦點為F2（
2
，0），其短軸上的一個端點到F2距離為
3
．
（Ⅰ）求橢圓C及其“伴隨圓”的方程；
（Ⅱ）若過點P（0，m）（m＜0）的直線l與橢圓C只有一個公共點，且l截橢圓C的“伴隨圓”所得的弦長為2
2
，求m的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若給定橢圓C：ax2+by2=1(a>0,b>0,ab)和點N(x0,y0)，則稱直線l：ax0x+by0y=1為橢圓C的“伴隨直線”，

   (1)若N(x0,y0)在橢圓C上，判斷橢圓C與它的“伴隨直線”的位置關(guān)系(當直線與橢圓的交點個數(shù)為0個、1個、2個時，分別稱直線與橢圓相離、相切、相交)，并說明理由；

   (2)命題：“若點N(x0,y0)在橢圓C的外部，則直線l與橢圓C必相交.”寫出這個命題的逆命題，判斷此逆命題的真假，說明理由；

   (3)若N(x0,y0)在橢圓C的內(nèi)部，過N點任意作一條直線，交橢圓C于A、B，交l于M點(異于A、B)，設(shè)，，問是否為定值？說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源：2011屆湖北省黃岡中學高三5月模擬考試理科數(shù)學 題型：解答題

（本小題滿分13分）
給定橢圓，稱圓心在坐標原點，半徑為的圓是橢圓的“伴隨圓”． 若橢圓C的一個焦點為，其短軸上的一個端點到距離為．
（Ⅰ）求橢圓及其“伴隨圓”的方程；
（Ⅱ）若過點的直線與橢圓C只有一個公共點，且截橢圓C的“伴隨圓”所得的弦長為，求的值；
（Ⅲ）過橢圓C“伴橢圓”上一動點Q作直線，使得與橢圓C都只有一個公共點，試判斷直線的斜率之積是否為定值,并說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年湖北省高三5月模擬考試理科數(shù)學 題型：解答題

（本小題滿分13分）

給定橢圓，稱圓心在坐標原點，半徑為的圓是橢圓的“伴隨圓”． 若橢圓C的一個焦點為，其短軸上的一個端點到距離為．

（Ⅰ）求橢圓及其“伴隨圓”的方程；

（Ⅱ）若過點的直線與橢圓C只有一個公共點，且截橢圓C的“伴隨圓”所得的弦長為，求的值；

（Ⅲ）過橢圓C“伴橢圓”上一動點Q作直線，使得與橢圓C都只有一個公共點，試判斷直線的斜率之積是否為定值,并說明理由.

 

 

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