Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2x+log_a在（1，）內(nèi)恒小于零，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．≤a＜1
B．0＜a
C．0
D．a(chǎn)≥

Answer 1

【答案】分析：求出函數(shù)f（x）的定義域，f（x）在（1，）內(nèi)恒小于零等價(jià)于f（x）_max＜0，求出導(dǎo)數(shù)f′（x），分0＜a＜1，a＞1兩種情況利用導(dǎo)數(shù)求出f（x）的最大值即可．
解答：解：f（x）=x²-2x+，
因?yàn)閍＞0，且＞0，所以定義域：{x|x＞1}．
 f'（x）=2x-2-，
①當(dāng)0＜a＜1時(shí)，＜0，所以在x∈（1，）時(shí)f'（x）＞0，函數(shù)f（x）在（1，）上是增函數(shù)，
要滿(mǎn)足題意，須f（）≤0，即：-3+loga（2a）≤0，即：loga2≤-，
解得：a，又0＜a＜1，所以．
②當(dāng)a＞1時(shí)，由f'（x）=0得：x=1+，
當(dāng)x＜1+時(shí)，f'（x）＜0，當(dāng)x＞1+時(shí)，f'（x）＞0，
由此得函數(shù)f（x）在x＜1+時(shí)是減函數(shù)，在x＞1++時(shí)是增函數(shù)，
而f（）=-3+loga（2a）=loga2+＞0，
所以a＞1時(shí)，不能保證在（1，）內(nèi)f（x）恒小于0，
故a＞1不合題意，舍去．
綜上，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為．
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查不等式恒成立，考查分類(lèi)討論思想，解決本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值．