Question

對于函數(shù)y=f（x），若存在定義域D內(nèi)某個區(qū)間[a，b]，使得y=f（x）在[a，b]上的值域也為[a，b]，則稱函數(shù)y=f（x）在定義域D上封閉，如果函數(shù)f（x）=-

4x

1+|x|

在R上封閉，則b-a=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域,函數(shù)的定義域及其求法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先判斷奇偶性，再判斷單調(diào)性，解方程f（a）=b，f（b）=a即可

解答： 解：∵f（x）=-

4x

1+|x|

=

-4+ 4 x+1 ，x∈[0，+∞) 4+ 4 x-1 ，x∈(-∞，0)

，設(shè)0≤x_1＜x₂，
則f（x₁）-f（x_2）=

4(x2-x1)

(x1+1)(x2+1)

＞0，故f（x）在[0，+∞）上是
單調(diào)遞減函數(shù)，又∵f（x）=

4x

1+|x|

，∴f（-x）=-f（x），∴f（x）是奇函數(shù)．
所以f（x）在R上是單調(diào)遞減函數(shù)，
而x∈[0，+∞）時(shí)，f（x）值域?yàn)椋?4，0]，x∈（-∞.0）時(shí)，f（x）值域?yàn)椋?，4）
要使得y=f（x）在[a，b]上的值域也為[a，b]，則a＜0＜b
由

f(a)=b f(b)=a

，得

4+ 4 a-1 =b -4+ 4 b+1 =a

，得

a=-3 b=3

，∴b-a=6
故答案為：6

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)單調(diào)性，奇偶性，函數(shù)值域，綜合性較強(qiáng)