Question

在數(shù)列{a_n}中，a_n≠0，，并且對(duì)任意n∈N^*，n≥2都有a_n•a_n-1=a_n-1-a_n成立，令．
（1）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）當(dāng)n=1時(shí)，先求出b₁=3，當(dāng)n≥2時(shí)，求得b _n+1與b_n的關(guān)系即可知道b_n為等差數(shù)列，然后便可求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）根據(jù)（1）中求得的b_n的通項(xiàng)公式先求出數(shù)列{}的表達(dá)式，然后利用裂項(xiàng)求和法求出T_n的表達(dá)式，
解答：解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，b₁==3，
當(dāng)n≥2時(shí)，b_n-b_n-1=-==1，
∴數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為3，公差為1的等差數(shù)列，
∴數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式為b_n=n+2．
（2）∵===（-），
∴T_n=+++…++
=[（1-）+（-）+（-）+…+（-）+（-）]
=[-（+）]
=[-]
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的遞推公式以及等差數(shù)列與不等式的結(jié)合，以及利用裂項(xiàng)求和法求數(shù)列的和，屬于中檔題．