Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)D（-2，4），E（-2，-2），F(xiàn)（5，5）都在圓C上．
（1）求圓C的方程；
（2）直線x-y+m=0與圓C交于A，B兩點(diǎn)，OA⊥OB時(shí)，求m值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：直線與圓

分析：（1）利用條件判斷圓心位置，設(shè)出圓心坐標(biāo)，然后求解圓的圓心與半徑，即可求圓C的方程；
（2）聯(lián)立直線x-y+m=0與圓C的方程，通過韋達(dá)定理，利用OA⊥OB的充要條件，推出關(guān)系式即可求m值．

解答： （本小題滿分15分）（2011新課標(biāo)高考題改）
解：（1）由點(diǎn)D（-2，4），E（-2，-2）坐標(biāo)，設(shè)圓C的圓心為（a，1），
則有（a+2）²+（1-4）²=（a-5）²+（1-5）²，解得a=2．（4分）
則圓C的半徑為

(2-5)2+(1-5)2

=5．
所以圓C的方程為（x-2）²+（y-1）²=25．（7分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐標(biāo)滿足方程組：

x-y+m=0 (x-2)2+(y-1)2=25.

消去y，得到方程2x²+2（m-3）x+m²-2m-20=0．（10分）
由已知可得，判別式△=-4m²-8m+196＞0．
從而x1+x2=3-m，x1x2=

m2-2m-20

2

①
由于OA⊥OB，可得x₁x₂+y₁y₂=0，（12分）
又y₁=x₁+m，y₂=x₂+m，
所以2x1x2+m(x1+x2)+m2=0．②
由①②得m=-5或m=4，均滿足△＞0，
故m=-5或m=4（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的方程的求法，直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，觀察分析推出圓心坐標(biāo)是解題的突破口，也是優(yōu)化解題過程的關(guān)鍵．