Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-ax+a（a∈R），g（x）=x²+2x+m（x＜0）．
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）若a=0，函數(shù)y=f（x）在A（2，f（2））處的切線與函數(shù)y=g（x）相切于B（x₀，g（x₀）），求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

分析：（1）對函數(shù)求導(dǎo)，再對a討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得f（x）的單調(diào)性；
（2）分別求出函數(shù)y=f（x）在A（2，f（2））處的切線方程，函數(shù)y=g（x）在B（x₀，g（x₀））的切線方程，利用方程是同一方程，即可求實(shí)數(shù)m的值．

解答：解：（1）∵f（x）=lnx-ax+a（a∈R），
∴f′(x)=

1-ax

x

，x＞0，
若a≤0，則f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
若a＞0，則當(dāng)x∈(0，

1

a

)時(shí)，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，

1

a

）上單調(diào)遞增，當(dāng)x∈（

1

a

，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，
∴f（x）在∈（

1

a

，+∞）上單調(diào)遞減；
（2）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=lnx，f′（x）=

1

x

，
∴f′（2）=

1

2

，
∴函數(shù)y=f（x）在A（2，f（2））處的切線方程為y=

1

2

(x-2)+ln2，
又函數(shù)y=g（x）在B（x₀，g（x₀））處的切線方程為y=(2x0+2)(x-x0)+x02+2x0+m，
整理得y=(2x0+2)x-x02+m，
由已知得

1 2 =2(x0+1) ln2-1=-x02+m

，
解得x0=-

3

4

，m=-

7

16

+ln2．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確求切線方程是關(guān)鍵．