Question

已知函數(shù)
（1）當(dāng)k=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值
（2）當(dāng)k＞0時(shí)，若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-3，1]上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再令導(dǎo)數(shù)等于0，求出極值點(diǎn)，判斷極值點(diǎn)左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，當(dāng)左正右負(fù)時(shí)有極大值，當(dāng)左負(fù)右正時(shí)有極小值．再代入原函數(shù)求出極大值和極小值．
（2）因?yàn)楫?dāng)k＞0時(shí)，若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-3，1]上單調(diào)遞減，所以k＞0時(shí)，在區(qū)間[-3，1]上，f′（x）＜0恒成立，而f′（x）是關(guān)于x的二次函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的對稱軸與定義域，即可求出參數(shù)k的取值范圍．
解答：解：（1）f′（x）=kx²+2x-3，當(dāng)k=1時(shí)，，f′（x）=x²+2x-3，
令f′（x）=0，即x²+2x-3=0，解得，x=-3或x=1
且當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0．當(dāng)-3＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0．當(dāng)x＜-3時(shí)，f′（x）＞0．
∴當(dāng)x=-3時(shí)，函數(shù)f（x）有極大值為f（-3）=10，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）有極小值為f（1）=
（2）∵當(dāng)k＞0時(shí)，若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-3，1]上單調(diào)遞減，∴k＞0時(shí)，在區(qū)間[-3，1]上，f′（x）＜0恒成立．
即k＞0時(shí)，在區(qū)間[-3，1]上，kx²+2x-3＜0恒成立，
函數(shù)f′（x）=kx²+2x-3是關(guān)于x的二次函數(shù)，且對稱軸x=-，∵k＞0，∴-＜0
當(dāng)-≤-3，即0＜k≤時(shí)，只需f′（-3）＜0，即9k-9＜0，解得k＜1∴0＜k≤時(shí)滿足條件
當(dāng)-＞-3，即k＞時(shí)，只需f′（-）＜0，即0，解得，-＜k＜0，∵k＞0，∴不成立
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍0＜k≤．
點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與極值，單調(diào)區(qū)間的關(guān)系，以及恒成立問題求參數(shù)的取值范圍，屬于導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．