Question

已知函數f(x)=2

2

sinxcosx+2

2

cos2x-

2

，x∈R
（1）求f（x）的最小正周期和單調遞減區(qū)間；
（2）用“五點法”作出f（x）在區(qū)間[-

π

8

，

7π

8

]上的簡圖．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角的正弦\余弦函數公式化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，找出ω的值，代入周期公式即可確定出函數f（x）的最小正周期；
（2）根據x的范圍求出這個角的范圍，利用“五點法”作出f（x）的草圖即可．

解答：解：（1）∵f（x）=

2

sin2x+

2

cos2x=2sin（2x+

π

4

），
∴函數f（x）的最小正周期為π．
由2x+

π

4

∈[

π

2

+2kπ，

3π

2

+2kπ]，可得函數的單調遞減區(qū)間為[

π

8

+kπ，

5π

8

+kπ]（k∈Z）；
（Ⅱ）∵x∈[-

π

8

，

7π

8

]，∴2x+

π

4

∈[0，2π]，
列表如下：

x	- π 8	π 8	3π 8	5π 8	7π 8
2x+ π 4	0	π 2	π	3π 2	2π
y=f（x）	0	2	0	-2	0

作出圖象，如圖所示：
．

點評：本題考查兩角和與差的正弦函數公式，二倍角的正弦、余弦函數公式，三角函數的周期性及其求法，熟練掌握公式是解本題的關鍵．