Question

設(shè)過拋物線y²＝2px(q＞0)的焦點(diǎn)且傾斜角為的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若弦AB的中垂線恰過點(diǎn)Q(5，0)，求拋物線的方程．

Answer 1

答案：
解析：

解：∵拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)為F(，0)且kAB＝tan＝1，直線AB的方程為y＝x－，代入y2＝2px得x2－3px＋＝0， 　　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，中點(diǎn)為M(，)， 　　∴＝p，＝－＝p， 　　即　M(p，p)． 　　∴弦AB的中垂線的方程為y－p＝－(x－p)．又Q(5，0)在其上，代入坐標(biāo)得0－p＝－(5－p)， 　　∴p＝2，因此，拋物線的方程為y2＝4x． 　　分析：求拋物線的方程，只需求出待定系數(shù)p，而已知弦AB的中垂線過點(diǎn)Q(5，0)，需求出A、B的中點(diǎn)，從而求出弦AB的中垂線方程后便能求出p． 　　點(diǎn)評：只要牽涉到圓錐曲線的弦中點(diǎn)問題，就要用到中點(diǎn)公式、韋達(dá)定理采用設(shè)而不求及整體代入的方法，這個(gè)通性通法要牢固掌握．