Question

10．在如圖所示的幾何體中，四邊形CDEF為正方形，四邊形ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB=2BC，∠BAC=30°，AC⊥FB．
（Ⅰ）求證：AC⊥平面FBC；
（Ⅱ）求FC與平面EAC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出AC⊥BC，AC⊥FB，由此能證明AC⊥平面FBC．
（Ⅱ）由CA，CF，CB兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz，利用向量法能求出FC與平面EAC所成角的正弦值．

解答 證明：（Ⅰ）∵AB=2BC，∠BAC=30°，
在△ABC中，由正弦定理得∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
又∵AC⊥FB，BC∩FB，
∴AC⊥平面FBC．
解：（Ⅱ）∵AC⊥平面FBC，∴AC⊥FC，
∵CD⊥FC，∴FC⊥平面ABCD，
∴CA，CF，CB兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz，
在等腰梯形ABCD中，得CB=CD，
設(shè)BC=1，則C（0，0，0），A（$\sqrt{3}$，0，0），B（0，1，0），D（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，0），E（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，1），
∴$\overrightarrow{CE}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，1），$\overrightarrow{CA}$=（$\sqrt{3}，0，0$），$\overrightarrow{CF}$=（0，0，1），
設(shè)平面EAC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=\frac{\sqrt{3}}{2}x-\frac{1}{2}y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CA}=\sqrt{3}x=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，2，1），
設(shè)FC與平面EAC所成角為θ，
則sinθ=|cos＜$\overrightarrow{CB}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{CB}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∴FC與平面EAC所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線(xiàn)面垂直的證明，考查線(xiàn)面角的正弦值的求法，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查運(yùn)用意識(shí)，是中檔題．