Question

一塊邊長(zhǎng)為10的正方形紙片，按如圖所示將陰影部分裁下，然后將余下的四個(gè)全等的等腰三角形作為側(cè)面制作一個(gè)正四棱錐S-ABCD（底面是正方形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面中心的四棱錐）．
（1）過(guò)此棱錐的高以及一底邊中點(diǎn)F作棱錐的截面（如圖），設(shè)截面三角形面積為y，求y的最大值及y取最大值時(shí)的x的值；
（2）空間一動(dòng)點(diǎn)P滿足

SP

=a

SA

+b

SB

+c

SC

（a+b+c=1），在第（1）問(wèn)的條件下，求|

SP

|的最小值，并求取得最小值時(shí)a，b，c的值；
（3）在第（1）問(wèn)的條件下，設(shè)F是CD的中點(diǎn)，問(wèn)是否存在這樣的動(dòng)點(diǎn)Q，它在此棱錐的表面（包含底面ABCD）運(yùn)動(dòng)，且FQ⊥AC？如果存在，計(jì)算其運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度，如果不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）在直角三角形中根據(jù)兩條邊長(zhǎng)利用勾股定理做出四棱錐的高，即可求得截面三角形面積的函數(shù)表達(dá)式；
（2）先證明P，A，B，C共面，即P∈平面ABC，從而|

SP

|的最小值即是S到平面ABC的距離SO；
（3）取BC的中點(diǎn)G，SC中點(diǎn)T，連接FG，GT，TF，證明AC⊥平面GFT即可得到結(jié)論，從而可求軌跡的長(zhǎng)度．

解答：解：（1）由題意，y=

1

2

EF•SO=

1

2

x•

25- x2 4

=

x 100-x2

4

（0＜x＜10）…．（2分）
∴y=

x 100-x2

4

=

x2(100-x2)

4

≤

1

4

×

x2+100-x2

2

=

25

2

．
當(dāng)且僅當(dāng)x²=100-x²，即x=5

2

時(shí)取得最大值．…..（4分）
（2）由

SP

=a

SA

+b

SB

+c

SC

（a+b+c=1），得(a+b+c)

SP

=a

SA

+b

SB

+c

SC

，
∴a(

SP

-

SA

)+b(

SP

-

SB

)+c(

SP

-

SC

)=

0

，
∴a

PA

=-b

PB

-c

PC

，
∴

PA

，

PB

，

PC

共面，
∴P，A，B，C共面，即P∈平面ABC．
∴|

SP

|的最小值即是S到平面ABC的距離SO，
在上問(wèn)條件下，SO=

25- x2 4

=

5 2

2

…（7分）
此時(shí)

SP

=

1

2

SA

+0•

SB

+

1

2

SC

，即a=

1

2

，b=0，c=

1

2

…（9分）
（3）存在這樣的點(diǎn)的軌跡，下面證明：

取BC的中點(diǎn)G，SC中點(diǎn)T，連接FG，GT，TF，F(xiàn)G∩AC=H，則GF∥BD，TH∥SO
∵SO⊥AC，BD⊥AC
∴AC⊥GF，AC⊥TH
∵GF∩TH=H
∴AC⊥平面GFT．
∴只要Q在平面GFT與棱錐的表面的交線上運(yùn)動(dòng)，均有FQ⊥AC．
此時(shí)，由中位線性質(zhì)可知，△GFT的周長(zhǎng)l=

1

2

（SB+BD+SD）=

25+ x2 4

+

2

2

x，
在（1）的條件下，l=

5 6 +10

2

…..（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查線面垂直，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．