Question

如圖，直三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，C₁C=CB=CA=2，AC⊥CB，D是棱的中點.

   （I）求點B到平面A₁C₁CA的距離；

   （II）求二面角B―A₁D―A的大小.

Answer 1

解：（I）∵ABC―A₁B₁C₁是直三棱柱，

∴CC₁⊥底面ABC.

∴CC₁⊥BC.

∵AC⊥BC，

又AC∩CC₁ = C,

∴BC⊥平面A₁C₁CA.

∵BC = 2，

∴點B到平面A₁C₁CA的距離為2.

   （II）分別延長AC、A₁D交于點G，

過C作CM⊥A₁G于M，連結(jié)BM.

∵BC⊥平面A₁C₁CA，

∴CM為BM在平面A₁C₁CA內(nèi)的射影.

根據(jù)三垂線定理，得BM⊥A₁G.

∴∠CMB為二面角B―A₁D―A的平面角.

在平面A₁C₁CA中，

∵C₁C=CA=2，D為C₁C的中點，

∴CG = 2， DC = 1.

在Rt△DCG中，CM =    

即二面角B―A₁D―A的大小為

解法二：

   （I）同解法一

   （II）在直三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，AC⊥BC，分別以向量、、所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則

     C（0，0，0），B（2，0，0），A（0，2，0），  

 C₁（0，0，2），A₁（0，2，2），D（0，0，1）

    ，設平面A₁BD的一個法向量為，則

   

    令，即

   

    又平面A₁C₁CA的一個法向量為

    ，

    即二面角B―A₁D―A的大小為