Question

2．函數(shù)y=kx+2與函數(shù)$y=\frac{1}{|x|}$的圖象至少有兩個(gè)公共點(diǎn)，關(guān)于k不等式（k-2）a-k＞0有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． $-1＜a＜\frac{1}{3}$
• B． $a＜\frac{1}{3}$
• C． a＜-1
• D． a≥1

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的圖象得出k的范圍，分離參數(shù)得出a＜$\frac{k}{k-2}$，求出右側(cè)函數(shù)的最大值即可得出a的范圍．

解答 解：作出y=kx+2與y=$\frac{1}{|x|}$的函數(shù)圖象，如圖所示：

聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{y=\frac{1}{|x|}}\end{array}\right.$，得kx²+2x-1=0（x＞0）或-kx²-2x-1=0（x＜0），
當(dāng)x＞0，令△=4+4k=0得k=-1，當(dāng)x＜0時(shí)，令△=4-4k=0得k=1．
∴k=±1時(shí)，直線y=kx+2與y=$\frac{1}{|x|}$的函數(shù)圖象相切，
∵函數(shù)y=kx+2與函數(shù)$y=\frac{1}{|x|}$的圖象至少有兩個(gè)公共點(diǎn)，
∴-1≤k≤1．
∵（k-2）a-k＞0有解，∴a＜$\frac{k}{k-2}$有解，
設(shè)f（k）=$\frac{k}{k-2}$=1+$\frac{2}{k-2}$，
∴f（k）在[-1，1]上是減函數(shù)，
∴f_max（k）=f（-1）=$\frac{1}{3}$．
∴a$＜\frac{1}{3}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了方程解的個(gè)數(shù)與函數(shù)圖象的關(guān)系，函數(shù)存在性問(wèn)題與函數(shù)最值的關(guān)系，屬于中檔題．