Question

（2012•虹口區(qū)二模）等差數(shù)列{a_n}中，如果存在正整數(shù)k和l（k≠l），使得前k項(xiàng)和Sk=

k

l

，前l(fā)項(xiàng)和Sl=

l

k

，則（　�。�

A．S_k+l＞4

B．S_k+l=4

C．S_k+l＜4

D．S_k+l與4的大小關(guān)系不確定

Answer 1

分析：設(shè)出此等差數(shù)列的首項(xiàng)a₁與公差d，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式表示出S_k與S_l，代入已知的前k項(xiàng)之和與前l(fā)項(xiàng)之和中，根據(jù)k與l不為0，化簡后得到兩個(gè)關(guān)系式，分別記作①和②，用①-②，并根據(jù)k與l不相等，得到k-l≠0，再等式兩邊同時(shí)除以k-l后，表示出d，進(jìn)而表示出首項(xiàng)a₁，然后再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式表示出S_k+l，將表示出的首項(xiàng)a₁與公差d代入，整理后利用完全平方公式變形，再利用基本不等式即可得出S_k+l大于4，得出正確的選項(xiàng)．

解答：解：設(shè)首項(xiàng)為a₁，公差為d，
∵數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，前k項(xiàng)和Sk=

k

l

，前l(fā)項(xiàng)和Sl=

l

k

，
∴S_k=ka₁+

k(k-1)

2

d=

k

l

，S_l=la₁+

l(l-1)

2

d=

l

k

，
即a₁+

k-1

2

d=

1

l

①，a₁+

l-1

2

d=

1

k

②，
①-②得：

k-l

2

d=

k-l

lk

，
∵k≠l，∴d=

2

lk

，
將d=

2

lk

代入①得：a₁=

1

lk

，又k≠l，
則S_k+l=（k+l）a₁+

(k+l)(k+l-1)

2

d=

(k+l)2

kl

=

k2+l2+2kl

kl

＞

2kl+2kl

kl

=4．
故選A

點(diǎn)評(píng)：此題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，基本不等式，以及等差數(shù)列的求和公式，熟練掌握公式及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．