Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=exlnx+ ．
（1）求曲線y=f（x）在x=1處的切線方程；
（2）證明：f（x）＞1．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），

由題意可得f（1）=2，f′（1）=e，

故曲線y=f（x）在x=1處的切線方程為y=e（x﹣1）+2；

（2）證明：由（1）知，f（x）=exln x+ ex﹣1，

從而f（x）＞1等價(jià)于xln x＞xe﹣x﹣ ．

設(shè)函數(shù)g（x）=xln x，

則g′（x）=1+ln x，

所以當(dāng)x∈（0， ）時(shí)，g′（x）＜0；

當(dāng)x∈（ ，+∞）時(shí)，g′（x）＞0．

故g（x）在（0， ）上單調(diào)遞減，在（ ，+∞）上單調(diào)遞增，

從而g（x）在（0，+∞）上的最小值為g（ ）=﹣ ．

設(shè)函數(shù)h（x）=xe﹣x﹣ ，則h′（x）=e﹣x（1﹣x）．

所以當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h′（x）＞0；

當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h′（x）＜0．

故h（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，

從而h（x）在（0，+∞）上的最大值為h（1）=﹣ ．

因?yàn)間min（x）=h（1）=hmax（x），

所以當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）＞h（x），即f（x）＞1．

【解析】（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到f′（1）=e，進(jìn)一步求得f（1）=2，則函數(shù)f（x）在（1，f（1））處的切線方程可求；（2）函數(shù)f（x）=exlnx+ ﹣1的定義域?yàn)椋?，+∞），由（1）得到函數(shù)在定義域內(nèi)的最小值為1，則答案得證．