Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x|x-1|+m（m∈R），g（x）=lnx
（Ⅰ）記h（x）=f（x）+g（x），求證：h（x）在區(qū)間（0，1）上是增函數(shù)；
（Ⅱ）若方程f（x）=g（x）有解，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h（x）=-x²+x+m+lnx，求得 h′（x）=-2x+

1

x

+1=

(1-x)(1+2x)

x

＞0，可得h（x）在區(qū)間（0，1）上是增函數(shù)．
（Ⅱ）由題意可得方程x|x-1|+m=lnx有解，即m=lnx-x|x-1|=

x2-x+lnx ，x∈(0 ，1) -x2+x+lnx ，x∈(1 ，+∞)

，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)求得m的范圍；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)求得m的范圍，再把m的這2個(gè)范圍取并集，即得所求．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h（x）=f（x）+g（x）=-x²+x+m+lnx，
求得函數(shù)h（x）的導(dǎo)數(shù)為 h′（x）=-2x+

1

x

+1=

(1-x)(1+2x)

x

＞0，可得h（x）在區(qū)間（0，1）上是增函數(shù)．
（Ⅱ）若方程f（x）=g（x）有解，則方程x|x-1|+m=lnx有解，
可得 m=lnx-x|x-1|=

x2-x+lnx ，x∈(0 ，1) -x2+x+lnx ，x∈(1 ，+∞)

，
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，設(shè)y=x²-x+lnx，由于y′=

1

x

+2x-1≥2

2

-1＞0，
所以，y=x²-x+lnx 在區(qū)間（0，1]上是增函數(shù)，其值域?yàn)椋?∞，0]．…（12分）
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，設(shè)y=-x²+x+lnx，由于y′=

1

x

-2x-1＜0，
函數(shù)y=-x²+x+lnx 在區(qū)間（1，+∞）是減函數(shù)，其值域?yàn)椋?∞，0）．…（15分）
綜上，y=lnx-x|x-1|在區(qū)間（0，+∞）上的值域?yàn)椋?∞，0]，即m的取值范圍是（-∞，0]．…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．