如圖，已知橢圓C：數(shù)學公式+數(shù)學公式=1（a＞b＞0）的右焦點為F（c，0），下頂點為A（0，-b），直線AF與橢圓的右準線交于點B，若F恰好為線段AB的中點．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）若直線AB與圓x2+y2=2相切，求橢圓C的方程．

解 （1）因為B在右準線x=上，且F（c，0）恰好為線段AB的中點，
所以2c=，…（2分）
即=，所以橢圓的離心率e=． …（4分）
（2）由（1）知a=c，b=c，所以直線AB的方程為y=x-c，即x-y-c=0，…（6分）
因為直線AB與圓x2+y2=2相切，所以=，…（8分）
解得c=2．所以a=2，b=2．
所以橢圓C的方程為+=1． …（10分）
分析：（1）由B在右準線x=上，且F（c，0）恰好為線段AB的中點可求得2c=，從而可求得其斜率；
（2）由（1）可知a=c，b=c，從而可設AB的方程為y=x-c，利用圓心O（0，0）點到直線y=x-c間的距離等于半徑2即可求得c，從而使問題得到解決．
點評：本題考查橢圓的簡單性質(zhì)與橢圓的標準方程，考查化歸思想與方程思想，求得橢圓的離心率是關鍵，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的焦點和上頂點分別為F1、F2、B，我們稱△F1BF2為橢圓C的特征三角形．如果兩個橢圓的特征三角形是相似的，則稱這兩個橢圓是“相似橢圓”，且三角形的相似比即為橢圓的相似比．
（1）已知橢圓C1：
x2
4
+y2=1和C2：
x2
16
+
y2
4
=1，判斷C2與C1是否相似，如果相似則求出C2與C1的相似比，若不相似請說明理由；
（2）已知直線l：y=x+1，在橢圓Cb上是否存在兩點M、N關于直線l對稱，若存在，則求出函數(shù)f（b）=|MN|的解析式．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知橢圓C：
x2
b2
+
y2
a2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1（0，c）、F2（0，-c）（c＞0），拋物線P：x2=2py（p＞0）的焦點與F1重合，過F2的直線l與拋物線P相切，切點E在第一象限，與橢圓C相交于A、B兩點，且
F2B
=λ
AF2
．
（1）求證：切線l的斜率為定值；
（2）若動點T滿足：
ET
=μ(
EF1
+
EF2
)，μ∈(0，
1
2
)，且
ET
•
OT
的最小值為-
5
4
，求拋物線P的方程；
（3）當λ∈[2，4]時，求橢圓離心率e的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
3
2
，F(xiàn)1、F2分別為橢圓C的左、右焦點，A（0，b），且
F1A
•
F2A
=-2過左焦點F1作直線l交橢圓于P1、P2兩點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線l的傾斜角a∈[
π
3
，
2π
3
]，直線OP1，OP2與直線x=-
4
3
3
分別交于點S、T，求|ST|的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦點為F1（1，0）、F2（-1，0），離心率為
2
2
，過點A（2，0）的直線l交橢圓C于M、N兩點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）①求直線l的斜率k的取值范圍；
②在直線l的斜率k不斷變化過程中，探究∠MF1A和∠NF1F2是否總相等？若相等，請給出證明，若不相等，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•梅州一模）如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+y2=1（a＞1）的上頂點為A，右焦點為F，直線AF與圓M：x2+y2-6x-2y+7=0相切．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）不過點A的動直線l與橢圓C相交于PQ兩點，且
AP
•
AQ
=0．求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標．

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