Question

1．已知曲線y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）上的一個(gè)最高點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{π}{3}$，$\sqrt{2}$），此點(diǎn)到相鄰最低點(diǎn)間的曲線與x軸交于點(diǎn)（$\frac{4π}{3}$，0），若φ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）．
（1）求這條曲線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）求此函數(shù)在[-2π，2π]上的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由題意求得A、T、ω和φ，寫出曲線y的解析式；
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)y的增區(qū)間，再求函數(shù)y在[-2π，2π]上的單調(diào)增區(qū)間．

解答 解：（1）由題意可得A=$\sqrt{2}$，$\frac{1}{4}$T=$\frac{4π}{3}$-$\frac{π}{3}$=π，
∴T=4π，求得ω=$\frac{2π}{T}$=$\frac{1}{2}$；
再根據(jù)最高點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{π}{3}$，$\sqrt{2}$），
可得$\sqrt{2}$sin（$\frac{1}{2}$×$\frac{π}{3}$+φ）=$\sqrt{2}$，
即sin（$\frac{π}{6}$+φ）=1 ①；
由此最高點(diǎn)到相鄰最低點(diǎn)間的曲線與x軸交于點(diǎn)（$\frac{4π}{3}$π，0），
可得$\sqrt{2}$sin（$\frac{1}{2}$×$\frac{4π}{3}$+φ）=0，
即sin（$\frac{2π}{3}$+φ）=0 ②，
由①、②求得φ=$\frac{π}{3}$；
∴曲線y的解析式為y=$\sqrt{2}$sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$）；
（2）對(duì)于函數(shù)y=$\sqrt{2}$sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$），
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，
求得4kπ-$\frac{5π}{3}$≤x≤4kπ+$\frac{π}{3}$；
可得函數(shù)y的增區(qū)間為[4kπ-$\frac{5π}{3}$，4kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z；
∴函數(shù)y在[-2π，2π]上的單調(diào)增區(qū)間是[-$\frac{5π}{3}$，$\frac{π}{3}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，以及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用問題，是中檔題．