Question

如圖所示，在棱長為4的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點E是棱CC₁的中點．
（I）求三棱錐D₁-ACE的體積；
（II）求異面直線D₁E與AC所成角的余弦值；
（III）求二面角A-D₁E-C的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用，求出底面D₁CE的面積，然后求三棱錐D₁-ACE的體積；
（II）取DD₁的中點F，連接FC，說明∠FCA即為異面直線D₁E與AC所成角或其補(bǔ)角，解三角形CEF，求異面直線D₁E與AC所成角的余弦值；
（III）過點D作DG⊥D₁E于點G，連接AG，說明∠AGD為二面角A-D₁E-C的平面角，解△AGD，求二面角A-D₁E-C的正弦值．
解答：解：（I）
（II）取DD₁的中點F，連接FC，

則D₁E∥FC，
∴∠FCA即為異面直線D₁E與AC
所成角或其補(bǔ)角．
，

∴
∴異面直線D₁E與AC所成角的余弦值為
（III）過點D作DG⊥D₁E于點G，連接AG，由AD⊥面D₁DCC₁，
∴AD⊥D₂E
又∵DG⊥D₁E，∴D₁E⊥面ADG
∴D₁E⊥AG，則∠AGD為二面角A-D₁E-C的平面角
∵D₁E•DG=DD₁•CD，∴
∴，
二面角A-D₁E-C的正弦值為
點評：本題考查棱柱、棱錐、棱臺的體積，異面直線及其所成的角，二面角及其度量，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．