已知某拋物線的頂點在原點,焦點在y軸上,其上的點P(m,-3)到焦點F的距離為5.
(Ⅰ)求該拋物線的方程.
(Ⅱ)設(shè)C是該拋物線上的一點,一以C為圓心的圓與其準線和y軸都相切,求C點的坐標.

解:(Ⅰ)根據(jù)P(m,-3),即P點縱坐標為-3可知拋物線開口向下,設(shè)拋物線方程x2=-2py
根據(jù)拋物線的定義可知3+=5,
∴p=4;
∴拋物線方程為x2=-8y,
(Ⅱ)∵C為圓心的圓與其準線和y軸都相切
∴C點到準線的距離等于它到y(tǒng)軸的距離
∴在y軸的切點為焦點F(0,-2)
設(shè)C(x,-2),代入拋物線方程,可得x2=16
∴x=±4
∴C的坐標為(4,-2)或(-4,-2)
分析:(Ⅰ)根據(jù)P點縱坐標為-3,可知拋物線開口向下,設(shè)拋物線的標準方程,根據(jù)拋物線的定義求得p,進而可得到拋物線方程;
(Ⅱ)根據(jù)C為圓心的圓與其準線和y軸都相切,可得C點到準線的距離等于它到y(tǒng)軸的距離,從而可設(shè)點C的坐標,代入拋物線方程可解.
點評:本題以拋物線的性質(zhì)為載體,考查拋物線的定義,考查拋物線與圓的位置關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知拋物線C的頂點在原點,焦點F在x軸上,拋物線上的點A到F的距離為2,且A的橫坐標為1.過A點作拋物線C的兩條動弦AD、AE,且AD、AE的斜率滿足kAD•kAE=2.
(1)求拋物線C的方程;
(2)直線DE是否過某定點?若過某定點,請求出該點坐標;若不過某定點,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知某拋物線的頂點在原點,焦點在y軸上,其上的點P(m,-3)到焦點F的距離為5.
(Ⅰ)求該拋物線的方程.
(Ⅱ)設(shè)C是該拋物線上的一點,一以C為圓心的圓與其準線和y軸都相切,求C點的坐標.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知某拋物線的頂點在原點,焦點在y軸上,其上的點P(m,-3)到焦點F的距離為5.
(Ⅰ)求該拋物線的方程.
(Ⅱ)設(shè)C是該拋物線上的一點,一以C為圓心的圓與其準線和y軸都相切,求C點的坐標.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2009-2010學(xué)年福建省莆田一中高二(上)期末數(shù)學(xué)試卷(文科)(選修1-1)(解析版) 題型:解答題

已知某拋物線的頂點在原點,焦點在y軸上,其上的點P(m,-3)到焦點F的距離為5.
(Ⅰ)求該拋物線的方程.
(Ⅱ)設(shè)C是該拋物線上的一點,一以C為圓心的圓與其準線和y軸都相切,求C點的坐標.

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