Question

沿海地區(qū)某農(nóng)村在2002年底共有人口1480人，全年工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)總值為3180萬元．從2003年起計劃10年內(nèi)該村的總產(chǎn)值每年增加60萬元，人口每年凈增a人，設從2003年起的第x年（2003年為第一年）該村人均產(chǎn)值為y萬元．
（1）寫出y與x之間的函數(shù)關系式；
（2）為使該村的人均產(chǎn)值年年都有增長，那么該村每年人口的凈增不能超過多少人？

Answer 1

分析：（1）據(jù)人均產(chǎn)值=

總產(chǎn)值

人數(shù)

，列出y與x的關系
（2）法一是利用單調(diào)遞增函數(shù)的定義，設出有大小的兩自變量得到其函數(shù)值的大小，列出不等式求出a的范圍．
方法二是先將函數(shù)分離常數(shù)，再利用函數(shù)是增函數(shù)，得到分子小于0，列出不等式求出a的范圍．

解答：（1）解：依題意得第x年該村的工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)總值為（3180+60x）萬元，
而該村第x年的人口總數(shù)為（1480+ax）人，
∴y=

3180+60x

1480+ax

（1≤x≤10）．
（2）解法一：為使該村的人均產(chǎn)值年年都有增長，則在1≤x≤10內(nèi)，y=f（x）為增函數(shù)．
設1≤x₁＜x₂≤10，則
f（x₁）-f（x₂）=

3180+60x1

1480+ax1

-

3180+60x2

1480+ax2

=

60×1480(x1-x2)+3180a(x2-x1)

(1480+ax1)(1480+ax2)

=

(88800-3180a)(x1-x2)

(1480+ax1)(1480+ax2)

．
∵1≤x₁＜x₂≤10，a＞0，
∴由f（x₁）＜f（x₂），得88800-3180a＞0．
∴a＜

88800

3180

≈27.9．又∵a∈N^*，∴a=27．
解法二：∵y=

60

a

（

53+x

1480 a +x

）
=

60

a

[1+

53- 1480 a

x+ 1480 a

]，
依題意得53-

1480

a

＜0，∴a＜

1480

53

≈27.9．
∵a∈N^*，∴a=27．
答：該村每年人口的凈增不能超過27人．

點評：本小題主要考查函數(shù)知識、函數(shù)的單調(diào)性，考查數(shù)學建模，運用所學知識解決實際問題的能力．