Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，且na_n+1=2S_n，數(shù)列{b_n}滿足bn=，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n（其中n∈N^*）．
（Ⅰ）求a_n和T_n；
（Ⅱ）若對任意的n∈N^*，不等式λT_n＜n+8-（-1）ⁿ恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由na_n+1=2S_n，可得（n-1）a_n=2S_n-1，（n≥2），兩式相減可得，利用疊乘法即可求解a_n，利用裂項法可求T_n
（Ⅱ）①當(dāng)n為偶數(shù)時，要使不等式λT_n＜n+8-（-1）ⁿ恒成立，即需不等式=2n+恒成立．
②當(dāng)n為奇數(shù)時，要使不等式λT_n＜n+8-（-1）ⁿ恒成立，即需不等式=恒成立，轉(zhuǎn)化為求解最值即可
解答：解：（Ⅰ）∵na_n+1=2S_n，①
∴（n-1）a_n=2S_n-1，（n≥2）②
①-②，可得na_n+1-（n-1）a_n=2a_n，
∴na_n+1=（n+1）a_n，
即，（2分）
∴
=1×=n（n≥2），
∵a₁=1滿足上式，
∴a_n=n（4分）
∴b_n==
=（5分）
∴
=（1-）=．（6分）
（Ⅱ）①當(dāng)n為偶數(shù)時，要使不等式λT_n＜n+8-（-1）ⁿ恒成立，
即需不等式=2n+恒成立．
∵2n+，當(dāng)且僅當(dāng)n=2時取“=”，
∴λ＜25（8分）
②當(dāng)n為奇數(shù)時，要使不等式λT_n＜n+8-（-1）ⁿ恒成立，即需不等式
=恒成立．
∵隨n增大而增大，
∴n=1時，2n-取得最小值-6．
∴λ＜-21．（10分）
綜合①、②可得λ的取值范圍是λ＜-21．（12分）
點評：本題主要考查了數(shù)列的遞推公式在數(shù)列的通項公式的求解中的應(yīng)用，疊乘法在求解數(shù)列的通項中的應(yīng)用及數(shù)列的裂項求和方法的應(yīng)用，不等式的恒成立與最值求解的相互轉(zhuǎn)化，具有一定的綜合性