Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：對任意x、y∈R都有f（x）+f（y）=f（ x+y）．
（1）求證：函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（2）如果當x∈（-∞，0）時，有f（x）＞0，求證：f（x）在（-1，1）上是單調(diào)遞減函數(shù)；
（3）在滿足條件（2）求不等式f（1-2a）+f（4-a²）＞0的a的集合．

Answer 1

分析：（1）由奇函數(shù)的定義知，需要證明出f（-x）=-f（x），觀察恒等式發(fā)現(xiàn)若令y=-x，則問題迎刃而解；
（2）由題設條件對任意x₁、x₂在所給區(qū)間內(nèi)比較f（x₁）-f（x₂）與0的大小即可．
（3）根據(jù)奇函數(shù)把不等式變形，再根據(jù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化不等式的解之即可．

解答：（1）、證明：令x=y=0，代入f（x+y）=f（x）+f（y）式，
得f（0+0）=f（0）+f（0），即 f（0）=0．
令y=-x，代入f（x+y）=f（x）+f（y），
得 f（x-x）=f（x）+f（-x），又f（0）=0，則有
0=f（x）+f（-x）．
即f（-x）=-f（x）對任意x∈R成立，
所以f（x）是奇函數(shù)．
（2）、任取-1＜x₁＜x₂＜1，則x₁-x₂＜0，
由題設x＜0時，f（x）＞0，可得f（x₁-x₂）＞0
f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁-x₂）＞0
故有f（x₁）＞f（x₂）
所以f（x）在（-1，1）上是單調(diào)遞減函數(shù)．
（3）、任取x₁＜x₂，則x₁-x₂＜0，
由題設x＜0時，f（x）＞0，可得f（x₁-x₂）＞0
f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁-x₂）＞0
故有f（x₁）＞f（x₂）
所以f（x）在R上是單調(diào)遞減函數(shù)．
由題意可知：f（x）奇函數(shù)，f（1-2a）+f（4-a²）＞0
所以f（1-2a）＞f（a²-4）
又因為f（x）在R上是單調(diào)遞減函數(shù)．
所以1-2a＜a²-4，
解得：(-∞，-1-

6

)∪(-1+

6

，+∞)．

點評：本題考點是抽象函數(shù)及其應用，考查用賦值法求函數(shù)值證明函數(shù)的奇偶性，以及靈活利用所給的恒等式證明函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解抽象不等式．
此類題要求答題者有較高的數(shù)學思辨能力，能從所給的條件中組織出證明問題的組合來．