設(shè)函數(shù)y=f（x），對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且當(dāng)x＞0時(shí)f（x）＜0，數(shù)學(xué)公式
求：
（1）f（0）的值．　　　　　
（2）求證：f（x）為R上的奇函數(shù)．
（3）求證：f（x）為R上的單調(diào)減函數(shù)．
（4）f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值．

解：（1）因?yàn)閒（x+y）=f（x）+f（y）
令x=0
則f（0+y）=f（0）+f（y）
得f（0）=0
（2）因?yàn)閒（x+y）=f（x）+f（y）且f（0）=0
所以f（x）+f（-x）=f（x-x）=f（0）=0
又因?yàn)閤是任意實(shí)數(shù)
所以f（x）為R上的奇函數(shù)
（3）令x＞y
則f（x）-f（y）=f（x）+f（-y）=f（x-y）
因?yàn)閤＞y
所以x-y＞0
所以f（x-y）=f（x）-f（y）＜0
所以f（x）為R上的單調(diào)減函數(shù)
（4）由（3）知f（x）在[-3，3]上的最大值為f（-3）
f（-3）=f（-1）+f（-2）=f（-1）+f（-1）+f（-1）=-f（1）-f（1）-f（1）=2
f（x）在[-3，3]上的最小值為f（3）
f（3）=f（1）+f（2）=f（1）+f（1）+f（1）=-2．
分析：（1）令x=0，由f（0+y）=f（0）+f（y）得f（0）=0
（2）由（1）中f（0）=0，可得f（x）+f（-x）=f（x-x）=f（0）=0，根據(jù)奇函數(shù)的定義可得結(jié)論．
（3）令x＞y，由已知可得f（x）-f（y）=f（x）+f（-y）=f（x-y），結(jié)合x(chóng)＞0時(shí)f（x）＜0，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義可得結(jié)論
（4）由（3）中函數(shù)的單調(diào)性可確定f（x）在[-3，3]上的最大值點(diǎn)，結(jié)合可得答案．
點(diǎn)評(píng)：本題又抽象函數(shù)為載體考查了函數(shù)求值，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最值，熟練掌握函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義是解答的關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

13、設(shè)函數(shù)y=f（x）存在反函數(shù)y=f-1（x），且函數(shù)y=x-f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（1，2），則函數(shù)y=f-1（x）-x的圖象一定過(guò)點(diǎn)
（-1，2）
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)y=f（x）是定義在R+上的函數(shù)，并且滿足下面三個(gè)條件：①對(duì)任意正數(shù)x，y 都有f（xy）=f（x）+f（y）；②當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜0；③f（3）=-1．
（1）求f（1），f（
19
）的值；
（2）證明：f（x）在R+上是減函數(shù)；
（3）如果不等式分f（x）+f（2-x）＜2成立，求x的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)是y=f′（x），稱εyx=f′(x)•
x
y
為函數(shù)f（x）的彈性函數(shù)．
函數(shù)f（x）=2e3x彈性函數(shù)為
3x
3x
；若函數(shù)f1（x）與f2（x）的彈性函數(shù)分別為εf 1x與εf 2x，則y=f1（x）+f2（x）（f1（x）+f2（x）≠0）的彈性函數(shù)為
 f1(x)ef1x+f2(x)ef2x  
f1(x)+f2(x)
 f1(x)ef1x+f2(x)ef2x  
f1(x)+f2(x)
．
（用εf 1x，εf 2x，f1（x）與f2（x）表示）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)y=f（x）在（-∞，+∞）內(nèi)有定義，對(duì)于給定的正數(shù)K，定義函數(shù)fK（x）=
f(x)，f(x)≤k
k，f(x)＞k
，取函數(shù)f（x）=2-x-e-x，若對(duì)任意的x∈（-∞，+∞），恒有fK（x）=f（x），則K的最小值為
1
1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)y=f（x）在（-∞，+∞）內(nèi)有定義．對(duì)于給定的正數(shù)K，定義函數(shù)fk（x）=
f(x)，f(x)≥K
K，f(x)＜K
，取函數(shù)f（x）=2+x+e-x．若對(duì)任意的x∈（+∞，-∞），恒有fk（x）=f（x），則（　�。�

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